теоретическая гидродинамика

Предлагаемая советскому читателю книга Милн-Томсона относится к числ; классических учебников по гидродинамике. Подобно книге Г. Ламба Гидре динамика и двухтомному курсу Н. Е. Кочина, И. А. Кибеля и Н. В. Роз кТеоретическая гидродинамика книга Милн-Томсона неоднократно переизда валась и уже давно получила заслуженную известность у специалистов. Эп книга хорошо известна также и в Советском Союзе. Автор предисловия по соб ггвенному опыту знает, как часто преподаватели гидродинамики прибегал! к помощи книги Милн-Томсона. Отличный подбор задач, ясность и оригиналь иость изложения большинства вопросов делали эту книгу очень полезныв юсобнем для преподавателей. Теперь в русском переводе книга Милн-Томсон! :танет доступной также и студенчеству.

Данная книга относится к числу книг энциклопедической направленно :тн. Все включенные в нее вопросы излагаются очень обстоятельно и полно При этом она отнюдь не дублирует имеющиеся издания по той же тематике 1режде всего в ней содержится много материала, который обычно не вклю 1ается в учебники. Например, все изложение плоской задачи автор строи' ia использовании функций двух комплексных переменных и в рамках этоп летода рассматривает также и неустановившиеся течения; кроме того, авто( 1емонстрирует ряд малоизвестных результатов, например таких, как обобще ше формул Чаплыгина - Блазиуса и др.

С очень большой полнотой изложена теория вихрей; такого полногс зложения этой теории на русском языке до сих пор не было. Если сравниват! ITOT раздел с известной книгой А. Вилла Теория вихрей , изданной на рус :ком языке в 1933 г., то изложение Милн-Томсона имеет ряд преимуществ фи той же полноте изложения классических результатов Милн-Томсон зна iOMHT читателя с многочисленными работами последних лет. Кроме того 1зложение Милн-Томсона вполне современно.

Указанные преимущества изложения Милн-Томсона полностью можнс >тнести к главам, посвященным теории движения жидкости со свободными раницами: читатель сможет ознакомиться с современным состоянием вопрос: особенно внимательно относится автор к последним работам американское икапы - Гнлбарга, Гарабедяна и др.). Это обстоятельство характерно почти ,ля всех глав - оставаясь в рамках классических вопросов, автор тем ш iiHet все время старается осветить их с современной точки зрения, позна-.омить с последними результатами, показать перспективу дальнейшего раз-итня вопроса. Этому очень способствует подбор задач, многие из которых 1Ш' недавно могли бы составить тему самостоятельных исследований.

При всех достоинствах предлагаемой книги ее, однако, нельзя рекомендо-1ать в качестве учебника для начинающих изучать гидродинамику, так как втор каждый вопрос излагает с энциклопедической полнотой и материал, д)торый нужен начинающему, очень трудно отфильтровать. Кроме того, для оветского читателя изложение автора может показаться весьма своеобраз-ым. Например, следуя английским традициям, автор широко использует ппарат теории диад. В качестве исходного понятия автор вводит понятие

Предисловие редактора русского перевода

диады, а не тензора, как это принято у нас. По-видимому, такой подход усложняет изложение. Кроме того, автор широко и без достаточных пояснений использует аппарат функций двух комплексных переменных и т. д. Однако для преподавателей, аспирантов, студентов старших курсов и лиц, желающих углубить свои знания в классической гидродинамике, книга Милн-Томсона будет хорошим руководством. Обилие материала делает ее одновременно хорошим справочником, а большое количество задач позволяет использовать книгу как уникальный задачник.

Переводчики и редактор старались по возможности сохранить манеру изложения автора, и суш,ественных изменений или исправлений в текст внесено не было. Мы отдавали себе отчет в том, что традиционная английская манера изложения отдельных вопросов может затруднить чтение книги. Поэтому к некоторым главам были добавлены небольшие приложения. В одних случаях приложения имели своей целью разъяснить отдельные вопросы, в других- показать читателю возможность несколько иной трактовки вопроса.

В начале книги помеш,ены исторические замечания. Редактор и переводчики сочли необходимым пополнить перечень имен ученых, вклад которых в развитие гидродинамики оказал большое влияние на формирование идеи и дальнейшее направление развития этой науки. Отметим еш,е, что, по нашему мнению, в этих замечаниях, подчеркивая заслуги Ланчестера в развитии современного представления о движении жидкости, автор несколько переоценивает роль этого выдающегося исследователя. Несмотря на то что с именами Ланчестера и Кутта связаны первые представления о циркуляции как об основной причине возникновения подъемной силы крыла, именно Н. Е. Жуковский создал современное представление об эквивалентности крыла некоторому вихрю. Это представление в сочетании с блестящей по своей простоте и эффективности гипотезой о конечности значений скорости на острой кромке крыла (Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин) являются основой современной аэродинамики.

Мы надеемся, что книга Милн-Томсона вызовет большой интерес у советского читателя и принесет пользу не только делу преподавания гидродинамики, но и поможет восстановить интерес к ее классическим задачам, которые, по-видимому, незаслуженно отодвинуты в сторону мощным развитием современных разделов механики сплошных сред.

Перевод глав 1, 3-5, 7, 8, 10-12, 14, 15 выполнен Я. И. Секерж-Зень-ковичем, главы 2, 6, 9, 13 переведены А. А. Петровым, главы 16-20 переведены П. И. Чушкиным.

Н. Н. Моисеев

ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Даниил Бернулли (1700-1783) ввел термин гидродинамика для того, чтобы объединить две науки: гидростатику и гидравлику. Д. Бернулли также открыта замечательная теорема, известная под его именем.

Даламбер (1717-1783) исследовал сопротивление тел в потоке, открыл парадокс, названный его именем, и ввел принцип сохранения массы в жидкости (уравнение неразрывности).

Эйлер (1707-1783) вывел уравнения движения идеальной жидкости и развил теорию идеальной жидкости. Эту работу продолжил Л а г р а н ж (1736-1813).

Н а в ь е (1785-1836) вывел уравнения движения вязкой жидкости, исходя из некоторых гипотез молекулярного взаимодействия.

Стоке (1819-1903) также получил уравнения движения вязкой жидкости. Его можно считать основателем теории современной гидродинамики.

Р э н к и н (1820-1872) развил теорию источников и стоков.

Гельмгольц (1821-1894) ввел понятие потенциала скоростей, положил основу теории вихревого движения и теории разрывного движения, тем самым сделав существенный вклад в эту область гидродинамики.

Кирхгоф (1824-1887) и Р э л е й (1842-1919) продолжали начатое Гельмгольцем изучение разрывного движения жидкости и обусловленного им сопротивления.

Рейнольде (1842-1912) изучал движение вязкой жидкости, ввел понятие ламинарного и турбулентного течений и отметил резкий переход от одного к другому.

Н. Е. Жуковский (1847-1921) сделал выдающийся вклад в расчет и теорию крыла; полученные им результаты по исследованию профилей крыла всемирно известны под его именем.

Ланчестеру (1868-1945) принадлежат два замечательных результата в современной теории полета: (I) он ввел понятие циркуляции как причины подъемной силы, (II) он исследовал концевые вихри как причину индуктивного сопротивления *). Свои теории он изложил на заседании Бирмингемского естественноисторического общества в 1894 г., но опубликовал их в 1907 г. в своей Аэродинамике .

Дополнение редактора и переводчиков

М. В. Остроградский (1801-1861) - выдающийся русский математик, один из основоположников теории волн малой амплитуды и теории распространения тепла в жидкости.

1) См. предисловие редактора русского перевода.- Прим. ред.

Исторические замечания

И. С. Громека (1851-1889) заложил основы теории так называемых винтовых потоков и потоков с поперечной циркуляцией, получивших большое практическое значение. Он исследовал неустановившееся ламинарное движение вязкой жидкости в цилиндрических трубках и изучал влияние деформации упругих стенок на движение жидкости; эти исследования представляют большой интерес для физиологии. Получил в новой форме уравнения гидродинамики, носящие название уравнений Громеки - Ламба.

A.M. Ляпунов (1857-1918)-выдающийся русский математик и механик, создал современную строгую теорию фигур равновесия равномерно вращающейся жидкости; впервые доказал существование фигур равновесия жидкости; впервые исследовал устойчивость как эллипсоидальных, так и открытых им новых фигур для однородной жидкости.

с. А. Чаплыгин (1869-1942) наряду с Н. Е. Жуковским создал теорию крыла в безвихревом потоке. Он является основоположником современной газовой динамики.

А. И. Некрасов (1883-1957)далточнуютеориюволн установившегося вида на поверхности идеальной несжимаемой тяжелой жидкости. Получил первое строгое решение задачи обтекания дуги круга с отрывом струй идеальной несжимаемой жидкостью.

А. А. Фридман (1888-1925) является основоположником динамики сжимаемого газа при малых скоростях, служащей основой динамической метеорологии.

Н. Е. К о ч и н (1900-1944) получил точное решение задачи об установившихся волнах конечной амплитуды на поверхности раздела двух идеальных несжимаемых тяжелых жидкостей разной плотности. Дал строгое решение задачи об установившемся движении в идеальной несжимаемой жидкости круглого в плане крыла и его колебаниях. Наряду с А. А. Фридманом он внес большой вклад в современную динамическую метеорологию.

из ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

До недавнего времени динамика идеальной жидкости рассматривалась как академический раздел науки, не имеющий практического приложения, ввиду больших расхождений между результатами расчетов и наблюдений. Однако окончательное признание того, что теория циркуляции в идеальной жидкости, предложенная Ланчестером, объясняет подъемную силу крыла, а также гипотеза Прандтля о возможности пренебречь вязкостью вне пограничного слоя дали новый толчок в развитии этой области науки, которая всегда была необходима кораблестроителям-проектировщикам и которая вышла на передовые позиции в связи с появлением современных самолетов.

Исследование движения жидкости естественно распадается на две части: (I) экспериментальная, или практическая часть; (II) теоретическая часть, которая стремится объяснить характер экспериментальных результатов и, кроме того, пытается предсказать ход эксперимента. Таким образом, практическая и теоретическая части взаимно дополняют друг друга; настоящая книга посвящена теоретической части.

Когда научная теория становится более точной, тогда по необходимости она принимает более математическую форму. Это утверждение не следует понимать так, что форма становится более сложной и более трудной для понимания, но скорее так, что основные законы получают ясную формулировку и нужные выводы делаются точными математическими методами.

В основу этой книги легли лекции автора по гидродинамике, которые были прочитаны в Гринвиче для младших подразделений Королевского корпуса инженеров-кораблестроителей. Цель книги - дать полное, ясное и методическое введение к математической теории движения жидкости, которое будет патезно для применения как в гидродинамике, так и в аэродинамике.

Автор решился радикально отклониться от традиций и полностью основать изложение на применении векторного анализа и его естественной модификации для случая двух измерений - теории функций комплексного переменного. Применение этих методов в гидродинамике не является само по себе новостью, но, насколько известно автору, попыток такого исключительно широкого их применения в гидродинамике до сих пор не было. Предварительные математические знания, требуемые от читателя, не выходят за пределы обычного курса математическою анализа. Необходимый дополнительный математический аппарат вводится в книге по мере надобности, и тем самым предпринята попытка сдглат!. кишу в *том отношении разумно независимой. Так как мы имеем дело с описанием реальной действительности (хотя и в идеализированной форме), то в книге широко применяются рисунки, число которых превышает 360.

Последователыих.ть растиожения глав является результатом попытки дать рациональную классификацию излагаемого материала. Несомненно, эта последовательность не является единственно возможной, но, как нам кажется, она имеет некоторые [феимущества. Глава 1 носит вводный характер и посвящена главным образом выводам, основанным на знаменитом уравнении Д. Бернулли, который мо праву может считаться отцом гидродинамики.

10 Из предисловия автора

В главе 2 описываются те свойства векторов, которые важны при изучении движения частиц жидкости и при рассмотрении гидродинамических уравнений. Векторы вводятся здесь независимо от выбора системы координат. Основные свойства векторных операций выводятся операторным методом, который в изложенной здесь форме легко применяется и непосредственно приводит к теоремам Стокса, Гаусса и Грина. Так как эта книга посвящена гидродинамике, а не векторам, то теория последних излагается кратко. С другой стороны, при изложении этой теории имелось в виду помочь читателям, незнакомым с де11ствиями над векторами; читателю рекомендуется полностью и детально изучить содержание этой главы, что необходимо в силу большого числа ссылок на нее. Этот труд хорошо вознаграждается при стремлении понять физическую сторону рассматриваемых явленнй, которая особенно неясна при использовании специальных систем координат. В главе 3 общие свойства движения непрерывной жидкой среды, динамические уравнения, давление, энергия и вихри изучаются в свете векторных формулировок, преимущество которых вполне очевидно.

В главе 4 описывакзтся те существенные свойства двумерного движения, которые можно рассматривать, не применяя комплексного переменного. Содержание главы 5 отклоняется от темы книги - в ней вводится комплексное переменное, определяемое как векторный оператор, и доказываются некоторые теоремы, применяемые впоследствии. В частности, здесь рассматриваются свойства конфйэрмного отображения с некоторыми подробностями ввиду их существенного значения для дальнейшего изложения.

Главы 6-14 образукзт законченное целое; в них делается попытка дать подробное описание двумерного движения с единой точки зрения функций комплексного пере.ченного; при этом широко применяется конформное отображение, теорема Чаплыгина - Блазиуса и ее обобщения. В главе 6 исследуются потенциальные течения; в главе 7 рассматривается простое крыло Жуковского, глава 8 посвящена источникам и стокам. В главе 9 подробно рассматривается движение цилиндра и дается обобщение теоремы Кутта - Жуковского, охватывающее случай ускоренного движения (п. 9.53). Глава 10 содержит изложение теоремы Шварца - Кристоффеля о конформном отображении и ее некоторые непосредственные приложения; в главах 11, 12 даются дальнейшие приложения с целью изучения прерывных течений с отрывом струй и образованием каверн в потоке за цилиндром, сюда включено также описание изящного метода Леви-Чивита. Глава 13 посвящена рассмотрению прямолинейных вихрей, вихревой дорожки Кармана и сопротив.1с-иию. вызванному вихревым следом за телом. В главе 14 рассматривается двумерное волновое движение жидкости.

В главе 15 вводится функция тока Стокса и дается приложение конформного отображения к трехмерным задачам с осевой симметрией. Движение cix*p и эллипсоидов в жидкости рассматривается в главе 16. В главе 17 частное .111()к|кфенцирование по вектору (п. 2.71) применяется для получения уравне-нмн Кирхгофа в векторной форме; таким образом шесть уравнений заменякзтся двумя. По-видимому, этот метод является новым и удобным при исследовании вопросов устойчивости.

В главе 18 рассматривается общее вихревое движение с частным приложением к крылу конечного размаха. Глава 19 содержит описание приложения кокторного метода к течению вязкой жидкости и краткое изложение теории пограничного слоя. Интересно отметить, как просто могут быть получены компоненты напряжений в вязкой жидкости в произвольной системе координат с помощью векторного метода (п. 19.41).

Глава 20 служит введением в теорию течения сжимаемой жидкости при дозвуковых и сверхзвуковых скоростях. Источник в сжимаемой жидкости рассмотрен в п. 8.90, а вихрь - в п. 13.80.

Из предисловия автора И

В книге имеется всего 569 примеров, приведенных в конце каждой главы. Некоторые из примеров очень легки, другие весьма трудны и могут рассматриваться как дополнения к тексту.

Формулируя теорему, я по мере возможности связывал с ней имя ее автора, как достаточное указание на ее происхождение, но не следует думать, что приводимая формулировка теоремы совпадает с той, которая была дана первоначально. Например, Гаусс мог бы рассматривать свою теорему в п. 2.60 как завуалированную с помощью аллегории и иллюстрированную символами. Библиографические ссылки были сделаны попутно там, где они казались полезными и уместными, но не было предпринято попытки их систематизировать.

Хороший прием, оказанный этой работе, поощрил меня к ее усовершенствованию. Помимо значительных изменений в расположении материала и новых методов изложения, это четвертое издание отличается от третьего несколькими важными добавлениями; даны формулы Племеля для решения некоторых задач (п. 5.592); систематически изложена теория движения тяжелой жидкости со свободной поверхностью, включая соответствующий новый метод, впервые здесь публикуемый (пп. 11.60-11.64); дано изложение точной теории поверхностных волн постоянной формы (п. 14.84) и так называемой точной линеаризированной теории , вытекающей из предыдущей; описаны некоторые теоремы сравнения, включая теорему сравнения Серрина при наложении течений. Эти теоремы имеют важные приложения и заслуживают того, чтобы их извлечь из журналов, где они были первоначально опубликованы.

СШ.\, Висконсин, май 1959 г.

Л. М. Ми.1н-Томсон

г лава 1 УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

1.00. Вводные замечания. Гидродинамика занимается изучением движения жидкостей.

Все вещества ) испытывают деформацию под действием сил; деформация называется упругой, если она исчезает после устранения силы; деформация называется пластической, если она сохраняется после удаления силы; течением называется такая деформация, которая непрерывно беспредельно увеличивается под действием сколь угодно малых сил.

Жидкость является веществом, которое течет.

Жидкости делятся на две категории, а именно на газы и жидкости.

Газ заполняет любое замкнутое пространство, в которое он имеет доступ, и поэтому он классифицируется как весьма сжимаемая жидкость.

Жидкость при постоянной температуре и давлении имеет определенный объем; если жидкость поместить в открытый сосуд, то под действием силы тяжести она будет иметь форму нижней части сосуда и будет сверху ограничена горизонтальной свободной поверхностью. Все известные жидкости в какой-то незначительной степени сжимаемы. Однако для многих целей достаточно рассматривать жидкости как несжимаемые.

В данной книге мы главным образом будем исследовать поведение жидкостей, считая их несжимаемыми, и термин жидкость будем использовать в этом смысле. Но следует отметить, что при скоростях движения, значительно меньших по сравнению со скоростью звука, эффектом сжимаемости в атмосфере можно пренебречь, и во многих экспериментах, проводимых в воздушных трубах, воздух рассматривается как жидкость в вышеупомянутом смысле. В этом случае удобно применять термин несжимаемый воздух.

Реальные жидкости (и газы), а также и твердые тела обладают вязкостью, возникающей от внутреннего трения в веществе. Наше определение жидкости отличает вязкую жидкость, такую, как патока или деготь, от пластического твердого тела, такого, как замазка или глина. Действительно, жидкости первого вида не могут оказывать сопротивление какому-либо напряжению сдвига, как бы ни было оно мало, в то время как в последнем случае, чтобы вызвать деформацию, требуется напряжение определенной величины. Деготь - пример очень вязкой жидкости; вода - пример жидкости с небольшой вязкостью. Более точное определение вязкости будет дано позднее. Для точной математической трактовки предмета мы пока будем поступать так, как в других разделах механики, и делать упрощающие предположения, вводя определение идеальной субстанции, известной как невязкая, члм идеальная, жидкость.

Определение. Невязкой жидкостью называется непрерывная жидкая субстанция, в которой не может возникнуть никакого сколь угодно малого касательного напряжения.

Непрерывность постулируется для того, чтобы избежать трудностей, связанных с представлением о жидкости как о зернистой структуре, состоящей

) Предполагается, что все рассматриваемые вещества непрерывны и действующие ипы недостаточио велики, чтобы вызвать разрыв. Таким образом, куча песка исключает-<я И1 рассмотрения, а отдельные зерна не исключаются.

В В

Р 11 с. 1.

трубки. Если изобразить на рисунке векторы, характеризующие скорость в точках линии АВ диаметра трубки (рис. 1), то для невязкой жидкости их концы будут лежать на другом диаметре, в то время как для вязкой жидкости их концы будут лежать на параболе, проходящей через точки А и В. Можно думать, что исследование поведения идеальной жидкости поможет изучить поведение реальной жидкости. Как мы вскоре увидим, в большинстве важных случаев теория еще не может объяснить не только количественно, но и качественно движение реальной жидкости.

1.01. Размерности физических величин. Физика имеет дело с измеримыми свойствами физических величин. Некоторые из этих величин, например длина, масса, время и температура, рассматриваются как основные, так как оии не зависят друг от друга. Другие величины, такие, как скорость, ускорение, сила, теплопроводность, давление, энергия, рассматриваются как производные величины, так как в конечном счете они определяются через основные величины. Математическая физика занимается представлением физических величин посредством чисел и связанными с этим вопросами. Значения физических величин имеют характер отношений, получаемых путем сравнения измеренной ноличины с соответствующей стандартной величиной, произвольно выбранной и качестве единицы, так что число, выражакхцеерезультат измерения, зависит I выбора единицы.

Рассмотрим динамическую систему, т. е. систему, в которой производные I .тчины зависят татько от длины, массы и времени; заменим основные еди-iMiiN. скажем фут, фунт, секунду, на милю, тонну, час. Пусть 1\, Ши ti и /г, V/ . /; являются .мерами длины, массы и времени соответственно в двух система ч 1-диниц. Тогда можно записать равенства

/, =-Ji X/о = ./г. /n,=Afmi, ti = Tti, (1)

w L, Л/, Т - числа, не зависящие от частных значений измеряемых величин: I. тны. массы или времени, но зависящие только от выбора двух систем единиц.

ИЗ отдельных молекул. Как будет показано позже, отсутствие каких-либо касательных напряжений означает, что давление в каждой точке жидкости одинаково для всех направлений в этой точке.

Однако отсутствие касательного напряжения в жидкости по обе стороны какой-либо малой поверхности, мысленно проведенной в жидкости, означает полное отсутствие внутреннего трения, так что в этом случае не может быть никакого рассеивания энергии. Далее, если твердое тело движется в жидкости или жидкость обтекает твердое тело, то предпалагается, что твердая поверхность не может оказывать никакого тангенциального действия на жидкость, так что жидкость свободно обтекает границы тела и не происходшг никакого рассеивания энергии из-за трения. Это свойство идеальной жидкости особенно отличает ее от реальной, так как эксперимент показывает, что реальная жидкость прилипает к поверхности твердого тела, погруженного в нее.

Отличие в поведении реальной и идеальной жидкостей хорошо иллюстрируется на примере прямого установившегося течения внутри горизонтальной