<P(W-*)

18. Пусть каждая частица жидкости равномерно вращается около фиксированной оси, при этом угловая скорость а изменяется как п-я степень расстояния от оси. Показать, что движение будет безвихревым только в том случае, если п--2=0.

Доказать, что если бы некоторая очень малая сферическая частица жидкости внезапно отвердела, то она начала бы вращаться около своего диаметра с угловой скоростью, равной (n-t-2)/2.

19. В точке О на некотором расстоянии под поверхностью глубокой воды произошел взрыв. Если О'-отображение точки О относительно свободной поверхности, то показать, что потенциал скоростей начального движения в каждой точке дается выражением

1 1

ОР О'Р

Определить начальную скорость свободной поверхности в каждой ее точке.

20. Дать определение безвихревого движения и доказать, что при некоторых условиях движение жидкости без трения, если оно безвихревое, остается всегда таким. Доказать, что эта теорема остается верной, если движению каждой частицы оказывает сопротивление сила, пропорциональная абсолютной величине скорости жидкости.

21. Пусть, при безвихревом движении потенциал скоростей <р равен константе на границе любой односвязной области, занятой жидкостью. Доказать, что функция <р имеет то же самое постоянное значение внутри жидкости.

22. Доказать, что если нормальная скорость равна нулю в каждой точке границы жидкости, занимающей односвязную область, и если движение безвихревое, то потенциал скоростей (р равен константе всюду внутри области.

23. Пусть жидкость, находящаяся в безвихревом движении, занимает односвязную область, ограниченную частично поверхностью, на которой потенциал скоростей (р постоянен, и частично поверхностью, на которой нормальная скорость равна нулю. Доказать, что функция (р имеет постоянное значение во всей области движения.

24. Тело движется заданным образом, не изменяя своего объема в невязкой жидкости. Пусть Го-кинетическая энергия жидкости, если нет внешней границы и в беско-

>) Здесь н в дальнейших примерах к гл. 111 через (р обозначен потенциал скоростей. Прим. перев.

где q-скорость жидкости, а радиус-вектор г отсчитывается в подвижной системе координат.

14. Пусть движение отнесено к подвижной системе координат, имеющей скорость и и угловую скорость ш. Доказать, что вихрь ( удовлетворяет уравнению

-g- + c Xg-b(qrV)C=(gV)q,

где q,=q-U-в>хг.

15. Доказать, что

\ \ Vfl2dT= 5 ((qV)q-bqxOdT, (V) (V)

и вывести формулу

\ 5 nqidS= 5 q(nq) dS-\- \ q(Vq)dT- J (qXg) dx,

(S) (S) (V) (V)

где q-скорость жидкости, S-замкнутая поверхность, a V-заключенный внутри нее объем.

Использовать указанный здесь результат для нахождения действующей на тело силы, обусловленной давлением жидкости.

16. Пусть Г -циркуляция по замкнутой линии, движущейся вместе с жидкостью. Доказать, что

если внешние силы имеют потенциал н давление является функцией только плотности.

17. Вдоль прямолинейной постоянного сечения трубки, наполненной газом, распространяется импульс. В результате этого плотность газа q в момент времени t на расстоянии X от начала, где скорость имеет величину Uq, становится равной!) Qo<(Vt-х). Доказать, что скорость и задается формулой

, ( о-У)<Р(УО

нечности жидкость покоится; Т;;-кинетическая энергия то* части жидкости, которая находится вне замкнутой поверхности Si, внешней по отношению к телу; У-кинетическая энергия жидкости, если поверхность Sq является ее внешней границей и неподвижна. Доказать, что если области, занятые жидкостью, одиосвязны, то

Т>То+Т'

25. Если a=const, Р = const-уравнения пространственной кривой, то показать, что касательная имеет направление вектора VaXVp. Следовательно, надо показать, что если поверхности а = const и const являются двумя любыми системами поверхностей, проходящими через вихревые линии, то J=fVaxVp, где f-скалярная функция.

26. В примере 25, используя равенство VJ=0, доказать, что (vf) (VaxVp) = 0, и, следовательно, доказать эквивалентность этого соотношения обращению в нуль якобиана а, Р)/д(х, у, г). Таким образом, F является функцией только а и р.

27. Доказать, что

Пользуясь обозначениями из примеров 25, 26, показать, что если скалярная функция Но, Р) удовлетворяет условию 0f/da=F, то (1) q=/(a, Р) Vp является решением уравнения C=Vxq. (2) C=-VaxVp.

28. Используя пример 27, доказать, что общее решение уравнения 2=Xq имеет вид

q=-cp-f/(a, P)Vp,

где a=const, p = const-две системы поверхностей, проходящих через вихревые линии, ф-решение уравнения Лапласа.

29. Получить преобразование Клебша, позволяющее скорость q выразить в форме

где поверхности Х=const, л=const движутся вместе с жидкостью, а кривые, по которым они пересекаются, являются вихревыми линиями.

30. Вывести формулу (2) п. 3.62 для момента L.

31. Пусть £-внутренняя энергия на единицу массы. Доказать равенства

32. Доказать, что для сжимаемой жидкости при безвихревом движения потенциал скоростей имеет внд

С

где ш-импульсивное давление, создающее движение из состояния покоя.

Глава 4 ДВУМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Рис. 61.

4.10. Двумерное движение. Двумерное движение характеризуется тем, что все линии тока параллельны фиксированной плоскости и все скорости в соответствующих точках плоскостей, параллельных фиксированной пло-скости, имеют одинаковую величину и направление. Чтобы объяснить это подробнее, предположим, что фиксированной плоскостью является плоскость ху (рис. 61) и что Р - какая-либо точка в этой плоскости. Проведем прямую PQ перпендикулярно плоскости ху (или параллельно Ог). Тогда говорят, что точки на линии PQ соответствуют точке Р.

Возьмем какую-либо плоскость в жидкости, параллельную ху\ пусть она пересекает линию PQ в точке R. Тогда, если скорость в точке Р плоскости ху равна q и образует угол 9 с осью Оу, то скорость в точке R равна по величине и параллельна по направлению скорости в точке Р. Следовательно, скорость

в соответствующих точках является функцией от х,у п времени / и не зависит от г. Поэтому достаточно рассмотреть движение частиц жидкости в одной показательной плоскости, скажем в плоскости ху, и можно говорить исключительно о скорости в точке Р, так как скорость в любой другой точке линии PQ имеет ту же величину и направление.

Чтобы приблизиться к действительности, полезно предположить, что жидкость при двумерном движении заключена между двумя плоскостями, параллельными плоскости движения и расположенными на расстоянии единицы друг от друга. При этом предполагается, что жидкость свободно скользит по этим плоскостям, не испытывая никакого сопротивления трения.

Рассматривая движение цилиндра в направлении, перпендикулярном его оси, предположим,что цилиндр имеет толщину, равную единице*), и не испытывает никакогосопротивлениясостороны граничных плоскостей (рис. 62). Этот метод исследования никоим образом не ограничивает общности и ие влияет на математическое решение.

Для завершения картины мы примем за показательную плоскость движения плоскость, параллельную нашим принятым фиксированным плоскостям и расположенную посредине между ними.

Таким образом, в случае двумерного движения кругового цилиндра на плоскости схематического чертежа будет изображен круг С, представляющий собой поперечное сечение цилиндра вышеупомянутой плоскостью, а центром этого круга будет точка А, в которой ось цилиндра пересекает указанную п.1оскость (рис. 63). Эту точку можно по праву называть центром цилиндра. В общем случае любая замкнутая -кривая, проведенная в вышеуказанной плоскости, представляет собой поперечное сечение цилиндрической поверхности, ограниченной фиксированными плоскостями.

1) Термин толщина* будет применяться для обозначения размера, перпендикулярного к плоскости движения.

Ясное понимание вышеизложенного позволит успешно применять более привычные обозначения двумерной геометрии. В качестве некоторой иллюстрации этого может служить схема на рис. 62.

Р н с. 62.

Р н с. 63.

Двумерное движение, как будет видно впоследствии, сравнительно легко поддается специальному математическому описанию. Оно позволяет исхле-довать природу многих явлений, изучение которых в их полной трехмерной постановке до сих пор встречает непреодолимые трудности.

4.20. Двумерное установившееся движение жидкости. В п. 2.40 мы рассматривали общий вид движения жидкости. В этом пункте мы подробно

исследуем двумерное установившееся движение жидкости.

Рассмотрим две соседние линии тока РР и QQ (рис. 64). Поскольку движение установившееся, линии тока являются траекториями частиц жидкости. Частица, находящаяся в момент времени t в точке А, в момент времени / + б/ будет находиться в точке А'. Проведем нормали AD и AG к линии РР, пусть они пересекаются в центре кривизны О. Пусть i4D= бл- элемент нормали, которая считается положительной по направлению к точке О. Отложим вдоль РР и QQ отрезки АВ и DC, равные бп.

Жидкость, занимающая в момент времени / призму с квадратным основанием ABCD, займет в момент времени t-\-bt призму с основанием в виде ромба i4flCD, так как если 9-скорость в точке А, то скорость в точке D равна q + {дд/дп) 6п.

Пусть прямая AD образует угол а с нормалью А'О. Так как диагональ ромба А'С делит пополам угол В'AD, то угол CAD равен /*л -/га, поэтому А'С образует с АО угол р, определяемый формулой

Р 4-0 = а-ь1 я-1 а=-1 я-Ь 1 а,

где О-угол между нормалями в точках А и А'.

Следует отметить, что мы рассматриваем движение бесконечно малого элемента в течение бесконечно малого промежутка времени и поэтому углы айв бесконечно малы.

Рис. 64.

Теперь очевидно, что за время Ы элемент жидкости ABCD испытывает следующие изменения (рис. 64, 65):

(I) перенос, при котором центр квадрата £ перемещается в центр ромба £;

(II) вращение, при котором ось симметрии АС поворачивается на угол V4 -Р = &-Vto и переходит в линию А'С. Этот угол положителен, если измеряется против часовой стрелки;

(III) чистая деформация, при которой все линии, параллельные АС, удлиняются, а все линии, параллельные BD, сокращаются в одинаковом отношении.

Эти искажения вызваны чистой деформацией, которая превращает квадрат в ромб. Искажения по существу обусловлены скоростью точки D относительно точки А.

Вращение и деформация отсутствуют только в том случае, если движение является исключительно переносом.

Имеющая здесь место чистая деформация характерна не только для движения жидкости, но характерна для любой субстанции, способной изменять форму.

Скорость переноса измеряется пределом отношения ЕЕ/Ы, когда 6t->0, т. е. величиной (/-скоростью жидкости в точке А. Для вычисления вращения имеем соотношения

AA=q6t = RQ,

Рис. 65.

где R=OA есть радиус кривизны дуги РР в точке А,

DD=(q+- вп) б/, GD = AGa = абп. Из (1) находим

ZX? = (/г - бл) 6 = (7 (1 - ) б/.

таким образом.

DD-DG

и, следовательно, вращение равно Скорость вращения равна

\ / q dq\ -2K.-R-dirJ

Так как скорость вращения равна половине вихря, то для вихря имеем формулу

В двумерном движении вектор вихря перпендикулярен плоскости движения и поэтому имеет фиксированное направление. Таким образом, в двумерном случае вектор вихря имеет много свойств скалярной величины и под вихрем здесь следует понимать вообще только скалярную величину ю.

по Глава 4

Приравнивая поток сквозь AD (см. рис. 64) потоку через AG, мы найдем уравнение неразрывности в форме

+ -г==0,

ds R

где -радиус кривизны в точке А кривой, ортогональной линии тока (см. п. 19.82).

Для расчета деформации находим удлинение, т. е. отношение приращения отрезка АС к первоначальной его длине, а именно

Теперь имеем

так что

А'С cos 0 + = AG = Ьп,

C(cos-sinf)-i=6n. Поскольку а бесконечно мало, то это соотношение дает

Л'С'(1-)=бл/2 = ЛС, и, следовательно, применяя биномиальное приближение

(-)-=1+.

получаем i4C = l -С, поэтому величина удлинения выразится

а скорость удлинения равна

\ /dq q\

Подобные расчеты показывают, что скорость сжатия отрезка BD дается таким же соотношением.

Ясно, что АС и BD соответственно являются направлениями максимальной скорости удлинения и сжатия. Линии, параллельные АВ, не испытывают ни удлинения, ни сжатия.

Следовательно, деформация является сдвигом, при котором линии, параллельные АВ, движутся вперед со скоростью, которая увеличивается линейно относительно их расстояний от АВ.

4.21. Безвихревое движение. При безвихревом движении вихрь равен нулю и, следовательно,

dn ~ R

Если линии тока прямые (/? = оо), то мы имеем = const, если двигаться поперек потока. Таким образом, для параллельного потока в канале при безвихревом движении скорость постоянна во всех точках поперечного сечения канала. Это имеет место для невязкой жидкости, но не для вязкой жидкости (см. рис. 1).

Кроме того, производная положительна, если мы движемся по

направлению к центру кривизны линии тока. Таким образом, на изгибе реки мы должны ожидать увеличения скорости, когда мы проходим через реку с внешней стороны к внутренней стороне изгиба*), при этом соответственно уменьшается давление.

4.22. Движение без деформации. Скорость деформации будет равна нулю, если

дп+ R

Таким образом, если линии тока прямые (/?=оо), то мы видим, что если скорость q постоянна при движении потока, то деформации нет.

С другой стороны, при установившемся вращении жидкости около оси с таким же распределением скорости, как в твердом теле, а именно д = г<о, где г -расстояние от оси и со -постоянная угловая скорость, мы имеем

дк- W-

и, таким образом, деформация обращается в нуль. Можно заметить, что в этом случае вихрь равен

И угловая скорость вращения частицы жидкости поэтому равна со.

4.23. Вихрь. В двумерном движении вектор вихря £ всегда направлен перпендикулярно плоскости движения и, следовательно, векторное произведение S X q представляет собой вектор, лежащий в плоскости движения и направленный перпендикулярно вектору

скорости q таким образом, чтобы вращение от q к g X q происходило против часовой стрелки.

Из п. 3.53 скорость изменения вихря можно записать в виде

-§ = (SV)q. (1)

Член, стоящий в правой части форму- Рис. 66.

лы (1), представляет собой скорость изменения вектора q, если идти в направлении £, т. е. перпендикулярно плоскости движения (рис. 66). По определению двумерного движения эта скорость равна нулю. Таким образом,

1=0. (2)

Это означает, что вихрь частицы жидкости не изменяется при движении частицы.

Эта особенность вихря свойственна только двумерному движению, что видно нз уравнения (1).

В установившемся движении траектории частиц также являются линиями тока.

) в реальных реках этот теоретический результат существенно изменяется из-за того, что поток стремится изменить направление на противоположное с внутренней стороны изгиба в области, расположенной вниз по течению, а также по другим причинам.

ds dn

где © - величина вихря.

Из первого уравнения получаем уравнение Бернулли

f+q+Q = C,

где С -константа вдоль линии тока. Тогда второе уравнение запишется в виде

Отсюда видно, как изменяется константа С, когда мы движемся, пересекая линию тока. Если движение безвихревое, то © = 0 и С постоянно во всей жидкости.

4.30. Функция тока. Пусть при двумерном движении жидкости А - фиксированная точка в плоскости движения и пусть АВР и ЛСР -две кривые в той же плоскости, соединяющие А с произвольной точкой Р

(рис. 67). Предположим, что внутри области R, ограниченной этими кривыми, не имеется ни источников, ни стоков. Тогда условие неразрывности можно выразить в следующей форме.

Количество жидкости, втекающей за единицу времени в область R справа налево через кривую ЛвР, равно количеству жидкости, вытекающей Рис. 67. за единицу времени через кривую АСР справа

налево.

Мы используем принятый термин поток для указанного количества жидкости и будем предполагать, что при этом поток положителен, если течение происходит справа налево. Понятие справа налево относится к наблюдателю, движущемуся вдоль кривой от фиксированной точки А в направлении, по которому дуга кривой s, измеряемая от А, увеличивается.

Таким образом, поток сквозь дугу АСР равен потоку через любую кривую, соединяющую А с Р.

Поскольку основная точка А фиксирована, то поток зависит, следовательно, только от положения точки Р и от времени /. Если мы обозначим

Следовательно, в установившемся двумерном течении вихрь постоянен вдоль линии тока.

4.24. Уравнения установившегося движения. Касательное и нормальное ускорения элемента ABCD, изображенного на рис. 64, имеют вид

ds R

Приравнивая силу произведению массы на ускорение, получим уравнение

as Q ds ds

R ~ a dn dn f

где Q-потенциал внешней силы, действующей на единицу массы. Эти уравнения можно представить в виде

4f + T+Q)-0,

этот поток через ф, то ф является функцией положения точки Р и времени. Например, в прямоугольных координатах

1) = ф(ДС, t/,0-

Функция ф называется функцией тока.

Существование этой функции является только следствием предположений о непрерывности и несжимаемости жидкости. Таким образом, функция тока существует также и для вязкой жидкости.

Теперь возьмем две точки Р, и Pj и пусть % и фг-соответствующие значения функции тока (рис. 68). Тогда, по тому же принципу, поток через ЛРг больше потока через APi на величину потока через дугу PiPj. Следовательно, поток через PiPj равен фг-Ф1. Отсюда следует, что если мы возьмем другую исходную точку, скажем А', то функция тока будет изменяться только за счет потока через дугу А'А.

Кроме того, если Pi и Pj-точки той же линии тока, то поток через PiPj равен потоку через линию тока, на которой лежат точки Pi и Рг- Таким образом, ф1-ф2=0. Следовательно, функция тока постоянна вдоль линии тока.

Поэтому уравнения линий тока получаются из уравнения ф=с, если давать константе с произвольные значения.

При установившемся движении положения линий тока являются фиксированными. При неустановившемся движении положение их меняется в разные моменты времени.

Применяя обозначения L и Т для размерностей длины и времени, размерность функции тока представляется в виде L*T~K

4.31. Выражение скорости через функцию тока. Пусть PiP2= 6s -бесконечно малая дуга кривой (рис. 69). Скорость жидкости, протекающей через эту дугу, можно разложить на две состав;р1ющие, направленные вдоль и перпендикулярно элементу 6s. Составляющая вдоль элемента 6s

Рис. 68.

Рис. 69.

Рис. 70.

не изменяет потока через элемент дуги. Составляющая, перпендикулярная элементу 6s, равна потоку через элемент 6s, деленному на величину 6s, т. е. равна величине (фг -Фl)/6s, где ф^ фг-значения функции тока в точках Р, и Рг-

Таким образом, скорость справа налево через элемент 6s в пределе становится равной dids.

Рассматривая бесконечно малые приращения Ьх и 6у в прямоугольной декартовой системе координат (рис. 70), выразим компоненты и и v скорости, параллельные осям, в следующем виде:

В полярных координатах, для радиальной и трансверсальиой компонент (рис. 71) получаем выражения

4.32. Метод Рэнкина. Если функцию тока я7 представить в виде суммы двух функций 1) = 1)1+%, то можно провести линии тока, если известны

кривые = const, ij)2 = const.

Возьмем малую величину со и проведем кривые =а>,

2(1), Зш, ..., 1)г = (I), 2(1), За>.....

Таким образом, мы получим сетку, как показано на рис. 72. В точках, отмеченных цифрой 3, функция ij)=3(i); в точках, отмеченных цифрой 4, функция ij) = 4(i), и т. д.

Если мы соединим точки, отмеченные одними и теми же цифрами, то получим линии, вдоль которых 1) = const (пунктирные линии на рисунке).

Ячейки этой сетки могут быть сделаны сколь угодно малыми, если взять достаточно малой величину а>. Эти ячейки можно рассматривать как параллелограммы различных размеров. Тогда линии тока получаются с помощью проведения диагоналей ячеек. Линии тока, проходящие через углы ячеек, приблизительно параллельны между собой в окрестности ячейки.

4.33. Функция тока для равномерного потока. Предположим, что каждая частица жидкости движется с постоянной скоростью U, параллельной оси X (рис. 73).

Рис. 72.

Рис. 73.

Рис. 74.

Рис. 75.

Если Р -точка с координатами (х, у), то поток через ОР равен потоку через РМ, где отрезок РМ перпендикулярен оси Ох. Таким образом, поток равен -i/t/и, следовательно, функция

ip=-Uy

является функцией тока для этого движения. В полярных координатах имеем

= -t/rsinO.

Для аналогичного потока в направлении оси Оу со скоростью V мы получаем соотношение (рис. 74)

ip = Vx = VrcosQ.