Если мы наложим два потока, то получим поток со скоростью УII* + V*, наклоненный к оси х под углом a = arctgWt/- Для этого потока функция тока равна

ij)= -Uy-\.Vx.

Если положить и =Qcosa, V = Qsina, то мы получим функцию тока для потока, в котором скорость Q составляет угол а с осью х, а именно (рис. 75)

ф = С (х sina -t/cos а),

или в полярных координатах

ф= -Qr sin (8 -а).

Во всех этих случаях линии тока являются прямыми линиями. Линия тока, которая проходит через начало координат, соответствует ф=0, и поэтому для этой линии в=а.

4.40. Векторные соотношения, связывающие скорость и вихрь. Пусть $1 -единичный вектор, касательный к линии тока ф= const и направленный, вдоль скорости q. Пусть п -единичный вектор нормали к линии тока, проведенный в направлении, по которому ф уменьшается, и пусть к -единичный вектор, перпендикулярный к плоскости движения Ч. и направленный таким образом, чтобы векторы к, $1, п образовали правую систему координат (рис. 76). Тогда q = qsi, где q -величина скорости; из п. 4.31 получим равенство

Рис. 76.

Так как векторы п и - Уф параллельны между собой, а п -единичный вектор, то величина скорости равна модулю вектора (-Гф). Чтобы получить скорость, мы должны повернуть этот вектор на прямой угол от п к S,. Следовательно,

q=-кх(-?ф) = кх?ф. (1)

Кроме того, применяя тройное векторное произведение, получаем равенства

£ = Vxq = Vx(kxVф) = k [(V) (Гф)] - (kV) Гф.

Второй член представляет собой изменение вихря, вычисленное вдоль к, и поэтому он равен нулю, так как движение двумерное. Следовательно,

g = kV4. (2)

Из формул (1) и (2) находим соотношение

qxg = (kxVф)X(kV).

Отсюда, используя тройное векторное произведение и замечая, что кк = I, получаем равенство

ЯХ£ = (Уф)(ф). (3)

Наконец, рассмотрим оператор qV = (к х Гф) V. Используя тройное скалярное произведение, получаем соотношение

qV=k(VфXV). (4)

В полярных координатах имеем равенство

дг г дг /-2 два

4.41. Уравнение для функции ф. В п. 4.23 мы доказали, что dydt=0. Отсюда, применяя формулу (9) п. 3.10, находим уравнение

- + (qV)g = 0.

Следовательно, воспользовавшись формулами (2), (4) п. 4.40, получаем уравнение

А (kV4) + (к (V X V)) (kVf) = 0.

Так как кк = 1, то имеем следующее уравнение, которому удовлетворяет функция 1}>:

Если движение установившееся, то это уравнение принимает вид

(Vt))xV(VN) = 0,

и, следовательно, векторы Уф, V (V*) параллельны между собой.

Так как эти векторы соответственно перпендикулярны кривым ?*ф = = const и ф = const, то отсюда следует, что ф = const означает, что и V*ijJ = const и, следовательно,

V4 = /{f).

где f(i})) -функция, зависящая только от ф. Этот результат также показывает, что в установившемся движении вихрь постоянен вдоль линии тока.

4.50. Уравнение для давления. Если мы положим (в обычных обозначениях)

то из уравнения движения

-qxS=-Vx,

используя формулы (1), (3) п. 4.40, получаем уравнение

kXV-f-(VT))(V*tjj)=-Vx. (1)

Это уравнение является уравнением движения, выраженным с помощью функции тока.

Пусть ds -элемент дуги в точке Р кривой АР в плоскости движения и Si -единичный вектор, направленный по касательной в точке Р. Тогда, согласно п. 2.31, имеем равенство

Из (2) следует, что если © - модуль вихря, то

© = V*ijJ. (5)

В прямоугольной декартовой системе координат эта формула, согласно п. 2.70, принимает следующий вид:

Умножая скалярно уравнение (1) на Si, получаем уравнение Интегрирование вдоль дуги АР дает результат

UP) (ар)

где -произвольная функция времени t.

Это уравнение является уравнением для давления, выраженным через функцию тока. Второй интеграл в левой части уравнения равняется

где ds-направленный элемент дуги. Это выражение представляет собой скорость изменения циркуляции по дуге АР. Мы также видим, что тройное смешанное произведение равно

[kxV]s. = (s.xk)V=-nV-f =-Af .

где п - единичная нормаль к дуге АР, проведенная так, что векторы к, Si, п образуют правую систему координат. Таким образом, уравнение (2) можно также записать в виде

£+,. + Q 5 УЧФ-! I ds = F(t). (ар) (ар)

При установившемся движении члены, содержащие время, исчезают, и так как в соответствии с п. 4.41 У*ф является функцией только от ф, мы можем написать уравнение

где С -абсолютная константа. Это -уравнение Бернулли в форме, показывающей зависимость его от отдельной выбранной линии тока.

4.60. Критические точки. Предположим, что начало координат является критической точкой. Тогда скорость в ней обращается в нуль и мы имеем

а*- ду--

Без потери общности можно предположить, что ф = 0 в начале координат, и тогда, применяя разложение в ряд Маклорена, получаем соотношение

= {ax* + 2hxy + by*)+-- .

Отсюда если х я у очень малы, то форма линии тока ф=0 в общем виде задается приближенно уравнением

ax* + 2hxy + by = 0, (1)

которому соответствуют две прямые линии. Таким образом, в критической точке линии тока пересекаются, иными словами, она является двойной точкой.

и, следовательно, линии, отвечающие уравнению (1), взаимно перпендикулярны, так что две ветви линии тока пересекаются под прямым углом.

4.70. Потенциал скоростей жидкости. При безвихревом движении скорость является отрицательным градиентом потенциала, а' именно q= - V(p. В прямоугольных координатах ее компоненты задаются в виде

--дх --ду

Так как компоненты скорости также выражаются через функцию тока, то мы имеем равенство

d djf д^ дх - ду ду ~ дх

В векторных обозначениях получаем соотношение

-?Ф=кхУф. (2)

Таким образом, если s, -единичный вектор в каком-либо направлении и п -единичный вектор нормали к Si, расположенный в направлении против часовой стрелки от Si, то мы получим равенства

- 8,Уф = S, (к X Уф) = (si X к) Уф = - пУф,

или

Лр дф

Отсюда получится уравнение (1), если брать ds = dx, ds = dy по очереди, так как соответствующими значениями dn являются dy и -dx.

Из уравнения (2) мы также заключаем, что Уф и Уф взаимно перпендикулярны. Это означает, что кривые ф = const, ф = const пересекаются под прямыми углами. Таким образом, кривые постоянного потенциала скоростей пересекают линии тока ортогонально.

Необходимо отметить следующие положения.

а) Функция тока ф существует независимо от того, является ли движение безвихревым или нет.

б) Потенциал скоростей может существовать только при безвихревом движении.

в) Если движение безвихревое, то существует потенциал скоростей.

г) Одна часть жидкости может иметь безвихревое движение, другая часть-вихревое. Потенциал скоростей существует в тех и только в тех частях жидкости, где движение безвихревое.

д) Когда жидкость движется, то завихренная часть жидкости может занимать различные области пространства. Существование потенциала скоростей является свойством той части жидкости, которая имеет безвихревое движение, а не той области пространства, которую временно занимает эта часть жидкости.

е) Характер течения при безвихревом движении под действием консервативных сил зависит только от граничных условий. В частности, если жидкость не имеет свободной поверхности, то характер течения при ациклическом безвихревом движении зависит только от движения этих границ, а не от поля внешних сил, которые воздействуют только на давление.

Рассмотрим функцию тока

Ч' = ху.

Если движение безвихревое, то

Находим, что V4=0, поэтому движение безвихревое. Компоненты скорости равны -х, у.

Следовательно, для отыскания потенциала скорости мы можем написать уравнения

так что

d=-dx+-dy = xdx-ydy=d(x*-y% Таким образом, имеем равенство

Ф = 1(**- /*).

Линии тока определяются уравнением дс / = const, т. е. они будут равносторонними гиперболами, имеющими в качестве асимптот оси координат. Линиями постоянного потенциала скоростей также являются равносторонние гиперболы. Таким образом, эта функция тока и потенциал скоростей задают течение жидкости около прямого угла, как показано на рис. 77, где пунктирные линии соответствуют постоянным значениям функции ф.

Рассмотрим прямоугольный элемент жидкости ABCD со сторонами, параллельными осям координат. Из уравнений (1) мы видим, что компонента и одинакова для всех точек на линии ВС, а компонента v одинакова для всех точек на линии АВ. Следовательно, прямоугольник ABCD сохраняет прямоугольную форму, когда АВ передвигается вверх. Кроме того, площадь ABCD остается постоянной (уравнение неразрывности), так как прямоугольник состоит из одних и тех же частиц жидкости. Ясно, что сторона АВ непрерывно уменьшается по длине, в то время как сторона ВС непрерывно увеличивается. Следовательно, жидкий элемент изменяет свой вид, но стороны элемента остаются параллельными осями. Этот пример иллюстрирует безвихревой характер движения и скорость чистой деформации, рассмотренную в п. 2.40.

4.71. Уравнение для потенциала скоростей. При безвихревом движении вихрь равен нулю и, следовательно,

V4 = 0.

С другой стороны, q=-Уф и, согласно уравнению неразрывности, Vq - 0. Таким образом,

У ф = 0.

Отсюда следует, что обе функции ф и ф удовлетворяют уравнению Лапласа V*K = 0, которое в прямоугольных декартовых координатах имеет вид

дх дуг

Теперь мы пришли к тому этапу, когда безвихревое движение удобнее исследовать с помощью теории функций комплексного переменного. Следую-

Р и с. 77.

где ф-функция тока.

е. Пусть к, 0-компоненты непрерывного двумерного движения несжимаемой жидкости. Показать, что

Доказать существование функции тока. Если циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю, то доказать, что функция тока удовлетворяет уравнению

dxi dyi

7. Функция тока в двумерном движении задается в виде ф=Сг*в, где г, 9 -полярные координаты. Найти вихрь н скорость в любой точке. Далее показать, что это движение соответствует случаю обтекания двух плоских границ, поворачивающихся вокруг их линии пересечения, раскрываясь нли закрываясь, как две створки.

8. Показать, что если при двумерном безвихревом движении скорость везде одинакова, то линии тока прямые.

щая глава будет посвящена краткому описанию необходимых математических сведений.

В гл. 6 мы увидим, что с применением теории функций комплексного переменного двумерное безвихревое движение жидкости допускает специальную математическую трактовку, позволяющую нам решать задачи, которые в полной их трехмерной постановке не могут быть решены имеющимися в нашем распоряжении средствами. Таким образом, ограничиваясь двумя измерениями, мы сможем рассмотреть многие особенности движения жидкости, от изучения которых в противном случае мы должны были бы уклониться; это поможет выяснить важные физические свойства гидродинамических задач.

ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ 4

1. Ветер дует над поверхностью воды, которая течет в направ.1енин ветра, но с другой скоростью. Объяснить, почему, вообще говоря, .тюбое малое отклонение поверхности воды от плоской формы будет стремиться к увеличению.

2. Вывести условие того, чтобы выражения

и=ах+Ьу, v = cx+dy

задавали компоненты скорости несжимаемой жидкости. Показать, что линии тока этого движения в общем случае являются коническими сечениями, а если движение безвихревое-равносторонними гиперболами.

3. Доказать, что при двумерном движении жидкости средняя тангенциальная скорость жидкости вдоль малой окружности радиуса г равна шг, где

dv ди =-Ш-д^

в центре круга, при этом членами порядка г* пренебрегаем.

4. Показать, что функции и = 2сху, v=c{a-\-x-y) являются компонентами скорости возможного движения жидкости. Определить функцию тока и начертить линии тока.

5. Вывести уравнение иераэрывиости для двумерного движения несжимаемой жидкости в форме

dOtr) до ~дГ+дВ--

где и, V -соответственно скорости в направлениях увеличения гиб, причем г и 6 - обычные обозначения координат.

Показать, что этому уравнению удовлетворяют величины и = akre~*>, t;=ar e~* +*)®, и определить функцию тока. Показать также, что скорость жидкости в каждой точке равна

примеры 121

9. Вывести условие того, чтобы уравнение у, с) = 0 определяло линии тока безвихревого движения, где с-параметр, являющийся постоянным вдоль любой линии семейства.

10. Показать, что в двумерном движении линия тока пересекает сама себя в точке нулевой скорости и что обе ветвн расположены под прямым углом друг к другу, если движение безвихревое.

Провести линию тока, проходящую через критическую точку движения, задаваемого функцией тока

it)=l/l/-aarctg

и определить скорость в точках, в которых эта линия пересекает ось у.

11. Показать, что потенциал скоростей

задает допустимое движение, и определить вид линий тока.

Показать, что кривые равной скорости являются овалами Кассини, определяемыми уравнением

гг = const.

12. Жидкость находится в двумерном безвихревом движении под действием консервативных сил, потенциал которых Q удовлетворяет уравнению V2Q = 0. Доказать, что давление удовлетворяет уравнению

Vt(\n V2p) = 0.

13. Показать, что при безвихревом двумерном движении

14. Путем рассмотрения циркуляции вокруг бесконечно малого четырехугольника AAGD, изображенного на рис. 64, ограниченного двумя соседними линиями тока и соседними нормалями к ннм, доказать, что прн установившемся движении вихрь (в обозначениях п. 4.20) равен

.? dq

R дп

Глава 5 КОМПЛЕКСНОЕ ПЕРЕМЕННОЕ

5.01. Комплексные числа. Пусть i, j-единичные векторы вдоль осей X, у у\ пусть к-единичный вектор, перпендикулярный к каждому из них. При этом все три вектора образуют правую систему координат (рис. 78).

Если мы ограничимся векторами, лежащими в плоскости jc, у, то векторы а и к X а будут взаимно перпендикулярными и будут лежать в той же плоскости. Таким образом, векторное умножение данного вектора о, находящегося в плоскости ху на единичный вектор к является поворотом этого вектора, без изменения его величины, на прямой угол в направлении от X к у, г. е. против часовой стрелки (рис. 79). Если 6 -скаляр, то бкхо является вектором, полученным поворотом вектора а на прямой угол и умножением его на Ь.

к.(г

Р н с. 78.

Рис. 79.

Таким образом, при рассмотрении векторов в плоскости ху мы можем рассматривать символ кх как оператор, поворачивающий данный вектор на прямой угол.

Применив к данному вектору о оператор а + Ькх, получим вектор аа 6 (к X а), который также находится в плоскости ху. Таким образом, оператор а -h 6к х, примененный к вектору, находящемуся в плоскости ху, преобразует его в другой вектор, находящийся в той же плоскости.

Определение. Оператор а + Ькх называется комплексным числом, если а и 6 -скалярные величины.

В математике обычно принято писать / вместо к X , тогда комплексное число запишется в виде

a + ib.

5.10. Векторная диаграмма'). Оператор комплексного числа, примененный к вектору i, дает в результате

{x + iy)i=xl+ykxi = xl + yi, т. е. радиус-вектор ОР точки Р{х, у) (рис. 80).

) В оригинале векторная диаграмма (рис. 80) названа диаграммой Аргана, так как Арган и Гаусс впервые ее рассматривали. - Прим. перев.

Рис. 80.

Таким образом, любое комплексное число, примененное к вектору I, дает радиус-вектор некоторой точки плоскости. Эта точка называется ызо-бражающей точкой комплексного числа, и она рассматривается как геометрическое представление комплексного числа 2 = *-f j>. В этом смысле мы можем говорить о точке г, имея в виду изображающую точку в вышеуказанном геометрическом описании, известном под названием векторной диаграммы.

Теперь легко получить закон сложения комплексных чисел. Пусть даны два комплексных числа

2, = дс,-Ь1>1, Zi = Xt + iyi. Тогда, применяя эти операторы к вектору I, получим равенства (JCi + I = Jfil -Ь /ij, {Хг -f iyt) \ = Xz\ + уг].

(*i + iyi) i-f (Jf, + 1уг) i = (*д + Xt) l+{yi + Уг) j = + г) + +Уг)\\,

так что мы можем написать соотношение

(JCi -f iyi) + (Xt -f iyt) = (Xi + Xt) + i (yi + Уг),

из которого следует, что закон сложения комплексных чисел такой же,

как и закон сложения векторов.

Таким образом, если А, В, С - изображающие точки комплексных чисел Zi, г, Zt + Zt, то четыре точки О, А, С, В находятся в вершинах параллелограмма (рис. 81). Поскольку

ОВ = -дА,

тот же метод может быть применен для получения разности двух комплексных Рис. 81. чисел, указанной на векторной диаграмме.

5.11. Умножение. Пусть г, = x,-ft(/i, г = je2-f Тогда, применяя последовательно оператор к вектору i, получаем в результате

(X, 4- iyi) (Xt -f iyt) i=(Xi + iyi) (Xti + Уг1) = XiXti + * 1Ы -f ytXtl - У,Уг1

так как по определению tj= -I. Таким образом.

(Xi + iyi) (Хг + iyt) I = {XiXt - Уф) I -f (*if/г -f JCsl/j) J =

= [{XiXt - yiyt) + i (Xiyt + Xtyi)] I

H. следовательно,

(xi + iyt) (Xt+ iyt) = {XiXt-y,yt) + i (х^г + х^у,). (1)

Легко доказать, что получится тот же результат, если множители взять в следующем порядке: (xt + iyt){Xi + iyi).

Таким образом, порядок сомножителей можно изменять, не изменяя произведения, т. е. умножение коммутативно. Кроме того, если мы перемножим множители, входящие в левую часть формулы (1) по обычным законам алгебры, то получим выражение

XiXt + i (xiyt + Xtyi) + iyiyt.

Тогда откуда

{Xi + iyi) = {Хг -Ь 1уг) {р + iq)

Xi = pxz - qyt, У1 = РУ2-\- qxt.

P xl+yl Ч xl+yl

Число p-T-iq называется частным от деления числа Xt + iyi на число Х2 + У2, так что имеем

xl + iyt х1х2-У1У2 ,Х2У1 - Х1У2 (.xi + iyi)(X2-iy2) *2 + !/2 х1 + у1 х1 + у1 {Х2+У2){Х2 - У2)

Таким образом, основные правила алгебры при сложении, вычитании, умножении и делении можно применять к комплексным числам, если выполняется условие

/ =-!.

Используя этот факт, мы можем оперировать комплексными числами в соответствии с правилами алгебры.

5.13. Теорема Эйлера. Эта теорема выражается формулой

cos 9 -Ь / sin 9 =

1) 5то название также применяется иногда просто к величине у. ися х и у соответственно называются действительной и мнимой осями.

Сравнение с формулой (1) показьшает, что произведение комплексных чисел можно получить по обычным законам алгебры, если положить

= -1.

Это вполне согласуется с определением i как оператора к х , два последовательных применения которого к вектору меняют его направление на противоположное и, следовательно, умножают его на -1.

5.12. Равенство комплексных чисел. Уравнение

означает равенство векторов

(JCi + >i)i = JCii--yiJ. {x2 + iy2)i = xti + y,l

и, следовательно,

Х1 = Хг, У1 = Уг-

Величина х называется действительной частью комплексного числа z = x + iy, а величина / /-его мнимой частью).

Следовательно, равенство двух комплексных чисел означает равенство действительных и мнимых частей. Поэтому, приравнивая комплексные числа, мы можем приравнять действительные части с обеих сторон уравнения и отдельно приравнять мнимые части.

Говорят, что комплексное число равно нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю.

Мы можем применить этот принцип для нахождения величин р и q, таких, чтобы