Отсюда, помня, что после дифференцирования надо положить 9 = 0, находим

Действительная и мнимая части этого выражения и представляют собой нужные нам члены. Итак, получим следующие уравнения движения в естественных координатах:

dq , ., dq

Q ds I dp

дд , ао ds dQ

-9 + =-

dig dg dq

dsi dn dn ds

-q{<+0

Q dn dn- L/** dsdn+Ч\ ds + dn Jj

У d%s

где Q -потенциал внешних сил').

К этим уравнениям надо присоединить еще уравнение неразрывности, которое (при 0 = 0) будет иметь вид

(e<7cos9)+(e<7sine) = 0.

или

d(qq) ds

yinOq = О,

a для несжимаемой жидкости

В соответствии с п. 4.20 вихрь будет равен

Уравнение (1) с помощью уравнений (3) и (4) можно записать в форме A( + ,. + Q) = v[-§ + <-%b)-.(x + x )] . (5) Отсюда, интегрируя вдоль линии тока от О до s, получим

о

Для жидкости с малой вязкостью значение v мало, и, таким образом, величина F представляет собой меру, определяющую область применимости уравнения Бернулли в качестве первого приближения. В частности, на границе тела = 0, и поэтому

F=={(-)ds.

Последний результат имеет место также в том случае, когда линии тока представляют собой прямые, так как при этом кривизны х, и х„ равны нулю.

1) Эти уравнения легко также получить как частный случай с помощью развитого в п. 20.70 метода, пригодного для общих естественных координат.

дпг

б

В этом же приближении уравнение (2) примет вид

С an + ал

Исключая из уравнений (6) и (7) величину р/0+Q и используя уравнение (3), будем иметь

Значит, внутри пограничного слоя

где А не зависит от п и равняется, таким образом, значению \dq/dn на границе тела.

Если Кп - постоянная величина, то, интегрируя это уравнение один раз, получаем

Последнее уравнение допускает дальнейшее интегрирование в эллиптических функциях.

ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ 19

1. В трбе кругового сечения течет вода со скоростью q под действием градиента

давления Р. Доказать, что

где г-расстояние от оси трубы. Найти также расход жидкости через трубу.

2. Вязкая жидкость течет установившимся образом параллельно оси в кольцевом пространстве между двумя соосиыми цилиндрами радиусов а к па (л>-1).

Показать, что расход жидкости равен

пРа* Г (да-1)г

8ц

1п л

где Р -градиент давления. Найти среднюю скорость.

3. В цилиндрической трубе кругового сечения, наклоненной под углом а к горизонтали, течет вода. Доказать, что расход жидкости равен

{P+gQ sin а).

8ц

где Р - градиент давления.

4. Пусть вязкая несжимаемая жидкость совершает установившееся прямолинейное движение вдоль цилиндра, образующие которого параллельны оси г. Показать, что скорость жидкости W в любой точке удовлетворяет уравнению

dho , dw -3-=--3- = const. дх дуг

Жидкость течет установившимся образом вдоль канала прямоугольного сечения со сторонами 2а и 2Ь под действием градиента давления Р, отнесенного к единице длины.

В приближении теории пограничного слоя уравнение (1) вблизи стенки сведется к следующему:

1 др dq , an dq

f + 9-r-=v-g (6)

при условии, что кривизны не являются большими; тогда

Показать, что секундный расход жидкости равен

Для случая а=Ь вывести также формулу

R 3,8 eV* ~ Va/v

где V -средняя скорость в сечении, /? -сила сопротивления на стенке, отнесенная к единице площади.

5. В преобразовании г = сch{l-\-ir\) равенство 1 = 1о определяет поперечное сечение твердого цилиндра, который движется в продольном направлении с постоянной скоростью и внутри трубы, поперечное сечение которой определяется равенством 5=?i. Промежуточное пространство заполнено несжимаемой жидкостью, имеющей постоянное давление и движущейся параллельно оси трубы со скоростью и.

Показать, что V2u = 0 и что все условия этого движения удовлетворяются, если

Доказать, что сила сопротивления, действующая на единицу длины цилиндра, равна

6. Доказать, что функция тока ф = С Г 6*1/- -д-у* Дописывает установившееся течение несжимаемой жидкости в прямом канале шириной 2Ь в случае, когда скорость жидкости на границе равна нулю.

Показать, что эта функция тока удовлетворяет дифференциальному уравнению движения вязкой несжимаемой жидкости, и вычислить давление в произвольной точке, если кинематический коэффициент вязкости жидкости равен v, а плотность q.

7. Показать, что в плоском движении вязкой несжимаемой жидкости функция тока удовлетворяет уравнению i)

(Ф, У*Ф) д(х, у)

Показать отсюда, что установившееся движение, у которого линии тока не зависят от коэффициента вязкости, должно быть либо движением, в котором полная скорость и вихрь постоянны вдоль каждой линии тока, либо движением, которое получается суперпозицией вращения твердого тела и безвихревого движения.

8. Вязкая несжимаемая жидкость ограничена параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии Л одна от другой. Одна плоскость неподвижна, а другая колеблется, перемещаясь параллельно самой себе, по простому гармоническому закону ocosn<. Показать, что отнесенная к единице площади касательная сила сопротивления, действующая на неподвижную плоскость, имеет наибольшее значение

-с- где (1)*=-.

Л(сЬй)-coso)) V-

9. Показать, что циркуляция /= (q-ds) по замкнутому контуру, который образован из одних и тех же частиц жидкости, остается постоянной тогда и только тогда, когда

dq/d/=-VQ,

где Q -некоторая скалярная функция от радиуса-вектора точки и времени t. Показать также, что если Q не зависит от t, то величина Q-j-/z?* будет постоянной вдоль траекторий частиц.

Доказать, что если массовые силы консервативны и р есть функция от Q, то ускорение может быть получено явно И) такой функции Q в случаях, когда fi = 0 или когда >1/С= const и V2q = 0; определить функцию Q в каждом И} этих случаев.

10. Вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль цилиндра установившимся образом по прямым, параллельным образующим цилиндра и оси г. Показать, что скорость в любой точке выражается формулой

w = Axi-\-Bxy-\-Cyi-lr, где ф удовлетворяет уравнению-f- = О, а А, В, С являются постоянными.

1) В русской литературе это уравнение называется обобщенным уравнением Гельмгольца.-Яриле. ред.

дх V дх

Пусть движущаяся поверхность является плоскостью, неограниченной в направлении у и наклоненной под малым углом а к плоскости г = 0, причем передняя и задняя кромки этой плоскости имеют соответственно высоты hi и h. Показать, что если я - давление на этих кромках и если V = W=0, то выражение

определяет давление в точках сечения с высотой Н.

12. Показать, что в установившемся движении вязкой жидкости с кинематическим коэффициентом вязкости v выполняется равенство

где s измеряется вдоль линии тока.

13. Найти выражение для полной скорости диссипации энергии F в вязкой жидкости. Показать, что если границы неподвижны и на них отсутствует скольжение жидкости, то скорость диссипации энергии выражается формулой

f = li 5 5 5 tXjv!jl)dxdydz.

Пусть движение жидкости является плоским и пусть оно вызвано установившимся движением некоторого цилиндра, перемещающегося со скоростью V под прямым углом к своим образующим. Определить соответствующий вид F.

И. Вывести динамические уравнения движения жидкости с учетом вязкости и сжимаемости.

Показать, что работа в единицу времени внутренних реакций в жидкости равна-f,

где

- ди , до , ~dw , ~ dw , dv\ , - /им , dw\ , - /, ди\ Гх+У д'у+ Ш+У\д^ + дг)-\Гг+д1) + У{.дх + ду)

и что уравнение притока тепла в жидкости имеет вид

д^[.Гх)+Гу\,Ту)-д-г{Тг)+ = -ОГ

где 0 - абсолютная температура, К-коэффициент теплопроводности, Q-плотность,. со - удельная теплоемкость при постоянном объеме.

Какие другие соотношения необходимы в этом случае, для того чтобы система уравнений была полной?

15. Вязкая жидкость совершает плоское движение такого вида, что в любой момент времени линии тока являются окружностями с центрами на оси х. Показать, что функция тока удовлетворяет уравнению

аф (д^ dt \ дгг

г dr J

Исследовать решения, в которых ф представляет собой функцию только отношения г2 .

Простой прямолинейный вихрь интенсивности х возникает в некоторый момент = 0 вдоль оси г. Найти скорость жидкости в момент времени t в точке, находящейся на расстоянии г от этой оси. Показать, что если некоторая окружность с центром на этой

Пусть поперечное сечение такого цилиндра представляет собой полукруг, а жидкость течет под действием постоянного градиента давления Р, отнесенного к единице длины. Найти среднюю скорость в сечении.

П. Несжимаемая жидкость, в которой отсутствуют массовые силы, движется в тонком, слое между неподвижной плоскостью 2 = 0 и жесткой движущейся поверхностью г = к(х, у). Пусть U, V, W представляют собой составляющие скорости в точке (д:, у, Л) этой движущейся поверхности. Показать, что давление в точке (х, у, г) удовлетворяет дифференциальному уравнению

u = n<f)lr;

здесь

причем h и k-постоянные, v-кинематический коэффициент вязкости.

Пусть R = rujnai/v- Показать, что для этого течения и для заданной величины R наибольшее значение а определяется выражением

(й-1-3)2а = /3

ф

1/2

17. Доказать, что для вязкой жидкости, находящейся в неподвижном замкнутом сосуде, скорость диссипации энергии равна

где интеграл распространен по поверхности сосуда.

Пусть этот сосуд имеет форму тела вращения и вращается около своей оси (которая совпадает с осью г) с угловой скоростью со. Доказать, что в этом случае скорость диссипации энергии будет содержать дополнительный член

цо) J (eDu+mDv) dS, D = y~-x,

где I, m, n - направляющие косинусы внутренней нормали к элементу dS поверхности сосуда.

18. Вязкая несжимаемая жидкость, в которой отсутствуют массовые силы, целиком заполняет пространство между круглой цилиндрической осью, вращающейся с угловой скоростью (О, и подшипником, представляющим собой эксцентрически расположенный круговой цилиндр. Пусть О и О' - центры поперечных сечений оси и подшипника и пусть их радиусы равны о и а-(-е соответственно, где е - малая величина; 00= А.е (О < X <. 1). Показать, что давление р в некоторой точке Р в жидкости удовлетворяет приближенному-уравнению

dp 6)x<oaU(cose-)-C) dQ~ eMl-i-A,cos0)

где 0-угол POO, ц -коэффициент вязкости и С-постоянная. Пренебречь кривизной смазочного канала. Найти р и показать, что

C=3X/(2-fX2).

19. Преобразовать уравнения движения и уравнение неразрывности вязкой несжимаемой жидкости к цилиндрическим координатам г, в, г, предполагая, что давление р и составляющие скорости жидкости и, v, w ъ направлении увеличения г, 0, г соответственно не зависят от 9.

Жидкость заполняет полупространство г>0, ограниченное только плоскостью г=0. Эта плоскость вращается с постоянной угловой скоростью со около осн г=0. Проверить, что в этом установившемся движении составляющие скорости и давление выражаются равенствами

и = (йгР(1), о=югС(У, w=(y>mflH(l), p=Qy(s,P(l),

где

2=(v/o))V S,

С -плотность, v-кинематический коэффициент вязкости; F, G, Н и Р не зависят от q, -V, ю и удовлетворяют некоторым обыкновенным дифференциальным уравнениям, причем

F{Q) = 0, G(0) = 1, Я(0)=0, Р(оо) = 0, С(оо) = 0.

оси расширяется так, чтобы содержать внутри себя некоторую постоянную величину вихря, то площадь, ограниченная этой окружностью, должна увеличиваться стационарно.

16. Вязкая несжимаемая жидкость совершает установившееся плоское радиальное движение между двумя непараллельными плоскими стенками; / и (р являются полярными координатами, где г-расстояние от линии пересечения стенок, на которых <р = ±0-Показать, что скорость в этом движении определяется так:

ди , ди . ди , др \ 1 о дх ду~ дг дх J Re

где Re -число Рейнольдса.

22. Получить формулы преобразования, связывающие составляющие напряжения и скорости скольжения, заданные в двух различных прямоугольных системах координат.

Пусть в вязкой жидкости с коэффициентом вязкости ц составляющие напряжения задаются условием

хх-а=уу- = гг-у=-р,

где

и тремя равенствами вида

/ dw ,

причем а, Р, у являются линейными функциями от скоростей скольжения. Показать, что если эти равенства инвариантны относительно выбора прямоугольной системы координат, то

дм . ди г. дш 2 ,

=Р-2fi = Y-2(х-у Цб.

где

. ди dv , dw

23. Предполагая, что составляющие напряжения в вязкой жидкости заданы формулами типа

- 2 , ди dv , ди\ / ди , dw \

вывести уравнения движения, происходящего параллельно осям координат.

24. Доказать, что уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости можно записать в следующей форме:

предположив, что сила трения на поверхности тела содержит в дополнение к членам, имеющим место для несжимаемой жидкости, еще один член, пропорциональный Vq.

Граничные условия в рассматриваемой физической задаче должны иметь следующий вид: и = 0, о=(1)г, w=0 при г=0; и = 0, о=0 при г=оо; w не должно обращаться в нуль при z=oo.

20. Доказать, что составляющие напряжения в сферических координатах имеют вид

= г-же (+ О

fVTdr+rsineao)--Г-j

sin едо)+ дг т )

21. Для установившегося движения несжимаемой жидкости, происходящего под действием одного только давления, вывести уравнения движения в следующей безразмерной форме:

и=и

;i-f+i(i-)(-3..)],

/, в* \ 3Ua /, ai \

при условии, что давление р соответственно определено. Найти результирующую силу, действующую на сферу.

29. Два бесконечно длинных круговых цилиндра радиусов а и а' вращаются с постоянными угловыми скоростями (О и со таким образом, что они все время касаются друг друга вдоль оси г. Эти цилиндры окружены вязкой несжимаемой жидкостью с плотностью Q и коэффициентом вязкости \1. Пренебрегая инерционными членами, доказать, что всем необходимым условиям движения будет удовлетворять функция тока следующего вида:

D sin3 fl

= A&iifiQ+Bri+CrsinQ+-f- .

Определить постоянные А, В, С и D, когда нормальные сечения цилиндров описываются уравнениями

r = 2asine, г=-2asine,

где г, г, 0 -цилиндрические координаты.

Исследовать специально случай а' = о, ui = -w, показав, что при этом

1 / 4o*sina0

sin0.

Найти составляющие напряжения р^г, рвв, Ргв. когда они зависят от ц, вывести формулу для касательного напряжения иа одном из цилиндров, исследовать особенность в этой формуле и рассмотреть в связи с этим справедливость полученного решения.

30. Полый круговой цилиндр внутреннего радиуса а может вращаться свободно без трения около своей оси. Ои заполнен вязкой жидкостью, и вся система вращается как твердое тело около оси цилиндра с угловой скоростью щ. В момент времени / = 0 цилиндр внезапно задерживают, а затем мгновенно отпускают.

25. Предполагая, что кинематический коэффициент вязкости в сжимаемой вязкой жидкости является постоянным, доказать, что уравнение движения имеет интеграл вида

при этом движение считается безвихревым.

26. Сфера совершает установившееся движение со скоростью V вдоль оси Z в неограниченной идеальной жидкости, а сама жидкость вращается около этой оси с постоянной угловой скоростью Q. Показать, что функция тока в полярных координатах имеет вид (г) sin* в, причем Цг) удовлетворяет уравнению

r3fm 2rH-rf, +Лгг2 (rf, - 2f) = О,

где k=2QfV. Найти решение этого уравнения, которое на границе тела удовлетворяет условию прилипания, и исследовать течение в окрестности сферы.

27. Проверить, что скорость

q=grad A(i/r)+Bxgrad(l/r)+{i/-B/r, О, 0}

удовлетворяет уравнениям медленного установившегося движения несжимаемой вязкой жидкости (если пренебречь так называемыми инерционными членами).

Определить постоянные А и В таким образом, чтобы это решение описывало обтекание неподвижной твердой сферы x*-f +г =а* потоком неограниченной жидкости со скоростью (U, О, 0) иа бесконечности. Показать, что этот поток действует на сферу с силой бпцаи, иаправлеииой по потоку.

28. Сфера радиуса а, центр которой находится в начале координат, расположена неподвижно в потоке вязкой несжимаемой жидкости, скорость которого на бесконечности и параллельна оси Ох. Проверить, что если пренебречь инерционными членами, то уравнениям движения и граничным условиям будут удовлетворять составляющие скорости

ai+AHJi(ka)e-. h

где (Ot-конечное значение угловой скорости системы в момент, когда она снова начинает вращаться как твердое тело, а k представляет собой величины корней уравнения

[*2a2 (шо-u)i)/4u)i-f2] Ji (ka)-kaJo (Ло)=0.

Поставим в этой задаче дополнительные условия. Можно предполагать, что цилиндр настолько длинный, что влияние возмущений от его плоских торцов пренебрежимо мало и что составляющая напряжения р, равна

где г, (d, г-цилиндрические координаты.

31. Обсудить приближенный метод Озеена, рассматривая течение вязкой жидкости около неподвижного тела при малых числах Рейнольдса Вывести уравнение, которому в теории Озеена удовлетворяет вихрь, и объяснить его физический смысл.

Проверить, что в случае плоского течения около цилиндра любого поперечного сечения уравнениям движения и неразрывности удовлетворяют функции

да , \ д% dw . \ дх да

=Tx + 2kдx-> =Ту + 2кд-у' =-a7

где k = U/{2\), i/-скорость невозмущенного потока, направленная вдоль оси х, v-кинематический коэффициент вязкости и

У2ф = 0, (V2-2.)X = 0. Vl-f.

Пусть решения для (р и х могут быть найдены так, что и и v обращаются в нуль на поверхности цилиндра. Доказать, что тогда сила сопротивления цилиндра, отнесенная к единице его длины, будет равна

где интеграл берется по контуру цилиндра, а dn-элемент внешней нормали.

32. Вязкая жидкость движется на большом расстоянии от неподвижного тела со скоростью и, параллельной оси Ох. Привести соображения, по которым Озеен сводит уравнения движения в этом случае к такой форме:

и^{и, V, a)=--Vp-fvV2(w, v,w).

Полагая U-2vk, проверить, что этим уравнениям удовлетворяют функции

аф , ах аф, lax , а(р i ах

-дх2кдх~ -aP 2fea аг + 2Лаг'

где

Рассмотреть решение

Ф= 2 AnSnr-- = e 2 (2n-Ьl)B S (я/2*r)/ K +l/2(И

п=0 71=0

где Sn-сферическая гармоническая функция порядка п, а Kn+V -Фуикция Бесселя второго рода с полуцелым индексом.

Объяснить, каким образом член, содержащий X, учитывает влияние вихревого следа за телом.

33. Пусть ф представляет собой потенциал скоростей безвихревого движения вне вихревого следа. Доказать в рамках приближенной теории Озеена, что сила сопротивле-

Показать, что угловая скорость цилиндра в момент времени t равна

где интеграл берется по поверхности тела, а t/-скорость невозмущенного потока.

34. Сфера радиуса а движется с постоянной скоростью U вдоль оси х в вязкой несжимаемой жидкости, которая покоится на бесконечности. Проверить, что в рамках гипотезы Озеена функция тока будет

ф =-----g-l+o в)[1-e-ft < - >],

где k = U/(2v).

35. Получить уравнения движения плоского установившегося течения несжимаемой жидкости с малой вязкостью в пограничном слое на плоской стенке в следующей форме:

ди , ди ди , д^и йф Эф

дх ду дх ду ду дх

где i/-скорость основного течения непосредственно на внешней границе пограничного слоя.

Пусть жидкость течет между двумя сближающимися плоскими стенками в направлении к линии их пересечения, так что скорость течения i/ отрицательна и обратно пропорциональна X, где X измеряется вдоль стенки от линии пересечения плоскостей. Показать, что можно найти такое решение дифференциальных уравнений задачи, в котором ф является функцией только отношения у/х. Для скорости и в пограничном слое вдоль одной из стенок иайти в этом случае выражение

где th2a = 2/3.

36. Струя воздуха вытекает из небольшого отверстия в стенке и смешивается с окружающим воздухом. Записать уравнения, которые приближенно определяют скорость в струе на некотором расстоянии от отверстия, предполагая, что сжимаемостью воздуха можно пренебречь и что течение является ламинарным и осесимметричным. Пусть Лапоток количества движения в единицу времени в сечении струи, ц-коэффициент вязкости, Q-плотность воздуха и пусть ось х направлена вдоль струи, а у есть расстояние от этой оси; показать, что в струе составляющая скорости, параллельная оси, выражается формулой

ЗМ 1

где

4ii К яо JC

4ц У яд

37. Струя воздуха вытекает из узкой прямолинейной щели в стенке и смешивается с окружающим воздухом. Условимся, что сжимаемостью воздуха можно пренебречь; предположим также, что движение является установившимся (не турбулентным) и плоским н что задачу можно решать в рамках теории пограничного слоя. В этих предположениях показать, что на некотором расстоянии от щели составляющая скорости, параллельная оси струи, будет равна

/ ЗуИ2 NVs г/ М \ /з (.32; <=ЧС48; У

где М -поток количества движения в единицу времени на единицу ширины сечения струи. Ось X направлена вдоль оси струи, ось у-перпендикулярно оси струи. Найти расход жидкости в струе.

ния любого тела вращения с осью, параллельной установившемуся потоку жидкости с плотностью Q, равна

Глава 20

ДОЗВУКОВОЕ И СВЕРХЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ

20.00, В предыдущих главах мы почти все время имели дело с несжимаемой жидкостью, такой, например, как вода. Число Маха (см. п. 1.63) принималось при этом равным нулю.

В этой главе мы будем рассматривать сжимаемую жидкость, такую, например, как воздух. При этом сжимаемая жидкость предполагается невязкой. Вероятно, самым важным результатом влияния вязкости является сила сопротивления, обусловленная поверхностным трением в пограничном слое. Внешними силами будем пренебрегать; это означает (см. п. 1.44), что мы будем иметь дело только с гидродинамическим, или, как здесь более уместно сказать, с аэродинамическим давлением.

20.01. Термодинамические уравнения. Рассмотрим единичную массу газа, имеющую объем v и плотность е, так что

VQ=\. (1)

Пусть Г -абсолютная температура газа, т. е. температура, измеряемая от абсолютного нуля (равного приблизительно -273° С). Газ называется совершенным, если он подчиняется закону

pv = RT, или p = RqT, (2)

где р -давление, -газовая постоянная. Таким образом, из четырех величин р, V, Q я Т независимыми являются только две.

Если взять логарифмическую производную от равенства (2), то можно получить соотношения

dp , dv dT dp dQ , dT ,оч

-y+-T = -T- -y-+ir- (>

В дальнейшем мы будем рассматривать только совершенный газ.

Первый закон термодинамики утверждает, что теплота есть форма энергии.

Пусть рассматриваемая единичная масса газа получает некоторое малое количество тепла q.

Гипотеза. Для всех газов, находящихся или не находящихся в осред-ненном движении, существует функция внутренней энергии Е, которая не зависит от осредненного движения, а зависит только от параметров состояния р, Q, Т. Причем количество тепла q, подводимое к газу, равно

q=dE + pdv. (4)

Величина dE представляет собой избыток подведенной энергии по сравнению с механической работой, совершенной силами давления {pdv).

Гипотеза. В совершенном газе внутренняя энергия Е является функцией одной только абсолютной температуры Т.

Эта гипотеза представляет собой обобщение, основанное на результатах экспериментов. Она известна также как закон Джоуля. Из этой гипотезы