Рассмотрим подробнее второе Слагаемое

(О flifcj -6,02 fliba -ftiflj

ajb, - а,Ьг О афз - Ьгаз

азЬх-афг азЬ^ - ОгЬз О

Его можно переписать в виде

(О - со, WjX

О), О - (1)3 , - (1)3 соз О/

где

ш = b X а,

(8*)

3. Тензор как оператор. Пусть а -вектор, а л = (pi;} - некоторая матрица; символом яа мы будем обозначать тройку чисел {6 fe Ьз), образованную по правилу

bi = Pt}a}. (9*)

Тогда имеет место следующая основная теорема.

Теорема. Пусть матрица {ри) определена в некоторой системе координат; для того чтобы эта матрица была тензором, необходимо и достаточно, чтобы тройка чисел {Ih, bi, Ьз}, определяемая по формуле (9*), представляла собой вектор, если тройка чисел {а а аэ} является вектором.

Доказательство. Для доказательства необходимости предположим, что {ри} представляет собой тензор. Обозначим через ри и а) компоненты тензора п и вектора а в новой системе координат. Теперь определим в этой системе координат тройку чисел {Ь\} следующим образом:

Ь\ = 1>р-ца;. (10*)

Найдем связь между величинами bi и fr,. Так как по предположению {ptj} - тензор, а [at] - вектор, то

а] = 2 jrOr, pij = ]S Р ла< а;А-

Следовательно, соотношение (10*) может быть записано в таком виде:

bi = S P>h0.i,ajhajrar, i. т. ш, k

или

bi= 2 PthflrU O-jhO-jr, т, §, к )

2 одоуг = О, если кфг, ajfiOLjT = и если k = r.

поэтому

fri = UhPaflu = 2 ou PrtO*-Далее, согласно формуле (9*),

S Рло^к - Ь„

следовательно,

fti = S b,at,.

Таким образом, тройка чисел {bt} при переходе от одной системы координат к другой преобразуется по формулам преобразования компонент вектора, т. е. образует вектор.

Для доказательства достаточности возьмем две произвольные системы координат {х?} и {у?} и в этих системах координат определим матрицы {Pi/} и {pij}. Пусть, далее, любому вектору а по формуле (9*) ставится в соответствие ветор Ь, т. е. его компоненты в новой системе координат связаны с компонентами в старой системе координат формулами

6i=2W (И*)

Докажем, что матрица {ptj} определяет некоторый тензор, т. е. что величины pij и pij связаны формулами

<, h

Так как величины Ь, определяются формулами (9*), то равенство (10*) может быть записано в виде

6; = 2 PrflrOi.. (12*)

Величины йг и а'т связаны формулами (3*)

к

Поэтому соотношение (12*) с учетом формулы (9*) можно переписать в виде

bi = y,pikak= 2 РвтаиОкга'к. (13*)

Т ;т. к

Но равенство (13*) имеет место при любых значениях ai, следовательно,

Р'гк = 2 P rai afcr.

что и требовалось доказать.

Таким образом, тензор можно рассматривать как оператор, который по определенному закону ставит в соответствие каждому вектору а новый вектор. Кроме того, этот оператор является линейным. Итак, выражение ла определяет некоторую линейную вектор-функцию вектора а.

Доказанная теорема играет большую роль в механике. В самом деле, согласно этой теореме, линейный оператор, действующий в трехмерном евклидовом векторном пространстве, можно рассматривать как аффинный тензор. Это определение, в свою очередь, удобно тем, что позволяет во многих важных случаях ответить на вопрос, является ли данная физическая величина тензором без проверки выполнения условий (5*). Например, в динамике твердого тела вводится матрица моментов инерции

где /j; -осевые и центробежные моменты инерции. Составляющие вектора момента количества движения L вычисляются по формуле

/-1=2 О), ;, (14*)

где 0)- компоненты вектора мгновенной угловой скорости. Формула (14*) может быть записана более экономно в виде

L = /o). (15*)

Равенство (15*) показывает, что матрица / в любой системе координат ставит в соответствие вектору со вектор L. Следовательно, матрица / определяет тензор.

Теперь определим умножение тензора на вектор слева. Равенство

Ь = ал (16*)

означает, что

bt = ajpjt. (17*)

Формула (17*) показывает, что равенство (16*) может быть записано в виде

Ь= л*а,

где л* - транспонированная матрица, для которой

Р'и=Рл-

Как следствие доказанной теоремы находим, что если я -тензор, то л*- также тензор.

Рассмотрим теперь произведение диады на вектор. Пользуясь тем, что любая диада есть тензор, найдем компоненты вектора d = (a;b) с. Эти компоненты записываются в виде

= 2 aibjCj = а, 2 bjcj,

(a;b)c=(b,c) а,

где (Ь,с) - обычное скалярное произведение. Аналогично, если обозначить к = с(а;Ь), то

= 2 OjbiCj = bj 2 о;С;, i

с (а;Ь) =: (а,с) Ь.

Пользуясь выведенными формулами, запишем тройное векторное произведение в форме диадного произведения

а X (Ь X с) = b (а,с) - с (Ь,а) = а (с;Ь) - а (Ь;с).

Легко видеть, что эта запись может быть сделана не единственным способом.

4. Произведение двух тензоров. Произведением двух тензоров л = {ptj} и Q = {4tj} будем называть матрицу /? = {г^}, элементы которой образованы по правилу

n,=Spu<7*,. (18*)

Нетрудно показать, что матрица R - тензор. Для доказательства нам достаточно иайти связь между компонентами rlj и Ги (в новой и старой системах координат). Запишем соотношение

НО так как величина р\к и -скалярные компоненты тензора, то они связаны с величинами ptk и qj формулами

1,1 п, т

Поэтому соотношение (19*) можно переписать в виде

<, f, п, m ft

f О, если п Ф I

к 11, если п = 1,

Используя теперь равенства (18*), получаем окончательно

что И доказывает наше утверждение.

Аналогичным образом определяется произведение диад. Обозначим

i? = (a;b).(c;d).

Очевидно, что i? -тензор. Докажем, кроме того, что /? -диада. Согласно определению, скалярные компоненты тензора вычисляются по формуле

ги = 2 aibhCkdj = aidj (b,c). Отсюда следует равенство

i? = (a;d).(b,c),

но так как (Ь, с) -скаляр, то это равенство можно записать еще и в виде

/? = ((b,c)a;d) = (a;(b,c)d). Из этого следует, что /? -диада.

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ 3

1. Уравнения движения в форме Лагранжа. Обозначим через а, b я с компоненты вектора Го = г(/о) (или их однозначные функции) и перейдем в уравнении (2) п. 3.43 к лагранжевым координатам. Для этого заменим в уравнении (2) п. 3.43 ускорение dqidt его лагранжевым выражением

dq дЬ (t, а, Ь, с) , dt ~ а(*

тогда скалярные уравнения (5) п. 3.43 примут следующий вид:

Теперь нам осталось исключить производные по координатам х, у и г. Так как

д д дх , д

±дх

да ~ дх да

ду . д дг

ду да dz да

то, умножая уравнения системы (1*) на dxida, ду/да, дг/да и складывая результаты, умножая затем на дх/дЬ, ду/дЬ, дг/дЬ и складывая результаты и, наконец, умножая на дх/дс, ду/дс, дг/дс и снова складывая результаты, мы приходим к следующей системе уравнений:

dti да дЧ дх

д^ду dt* да

dt дЬ дЧ дх

д^у ду dt* Ж J d*y ду

dt* дс dt* дс

(2*)

Система (2*) представляет собой систему скалярных уравнений движения в форме Лагранжа.

2. Вывод кинематического условия на свободной поверхности. Пусть уравнение свободной поверхности волны (поверхность S) задано в форме

F(x, у, Z, /) = 0. (3*)

Напищем условие неразрывности для объема Т, ограниченного сверху поверхностью S в момент времени снизу поверхностью S которая представляет собой геометрическое место вершин отрезков длиной /, отложенных по нормали к поверхности волны, и боковой поверхностью, образованной отрезками нормалей к поверхности волны, проведенных в точках некоторого замкнутого контура, построенного на поверхности S (см. рис. 1*).

В момент времени / = /о + Д^ точки поверхности волны х = Хо + х, у -Уоhy, 2 = 2о-(-Аг будут удовлетворять уравнению

Рис. 1*.

или

()o(---o) + (f) (l/-l/o)+() (.-.o) + (4f)/ = 0 + 0(A.*).

(4*)

Здесь индексом О обозначены точки поверхности волны в момент времени

Вычислим изменение объема Т за время At за счет деформации поверхности S (поверхность предполагается неизменной):

ДГ = J J Aids,

где Д/- приращение отрезка / за время At в точке Хц, Уо, z. Вычислим его длину.

Вершина отрезка /-(-Д/, точка х, у, z, должна удовлетворять, во-первых, уравнению (4*), а во-вторых, уравнению нормали:

X dF , , OF

-0= 3F У-Уо= дР (5*>

Если отбросить члены второго порядка малости, то из уравнений (4*) и (5*) можно вычислить величины х - хо, у - уо и z - Zo; в результате находим следующие соотношения;

dF ..dF 1

где

Таким образом,

А и dF St -dtT-

Поэтому приращение объема АГ равно

Изменение массы в объеме Т может быть компенсировано, во-первых, за счет притока жидкости через поверхность 5, и через боковую поверхность Si и, во-вторых, за счет изменения плотности жидкости. Принимая во внимание знак нормали, мы получаем следующее равенство:

S Si т

Второе и третье слагаемые в правой части полученного равенства имеют порядок /. Следовательно, переходя к пределу при /-Ои принимая во внимание, что поверхность S произвольна, мы получаем условие неразрывности в следующем виде:

. + 1=0. (6.)

Нетрудно убедиться, что условие (6*) и условие dF/dt = 0, приведенное в тексте гл. 3, тождественны. В самом деле.

.dt дх dt ду dtdz J

Используя выражение Vn, мы получаем

Итак, кинематическое условие на свободной поверхности состоит в том, что эта поверхность является интегралом движения.

Если поверхность жидкости задана уравнением

z = f{x, у, t), то условие (7*) заменится следующим:

dt-dt

Приведенный здесь вывод показывает, что кинематическое условие, которое должно выполняться на свободной поверхности, представляет собой простое следствие гипотезы неразрывности.

3. Теоремы о сохраняемости вихревых движений. 1) Теория сохраняемости вихревых движений была в очень изящной и законченной форме изложена ленинградским математиком А. А. Фридманом в книге Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости , ГТТИ, 1934. Эта теория основывается на одной теореме, имеющей весьма общий характер. Мы приводим здесь эти результаты, следуя изложению А. А. Фридмана.

Пусть движущаяся жидкость связана с некоторым векторным полем а, которое предполагается непрерывным и таким, что внутри жидкости нет точек, где I а I =0.

В процессе движения векторные линии векторного поля а изменяются. Будем говорить, что имеет место сохраняемость векторных линий, если эти линии состоят все время из одних и тех же жидких частиц. Если, кроме того, интенсивность векторных трубок поля а во времени не изменяется, то будем говорить о сохранении интенсивности трубок.

Теорема Фридмана. Для сохраняемости векторных линий и векторных трубок векторного поля а необходимо и достаточно, чтобы векторное поле а удовлетворяло следующему условию:

Рис. 2*.

da, dt

-(а, V)q--aVq = 0,

(8*)

где q = dr/dt - скорость частицы.

Выражение da/dt -(а, V)q-t-aVq А. А. Фридман назвал гельмгольциа-ном векторного поля а (helm а). Таким образом, условие (8*) можно записать еще и так: helm а =0.

Доказательство необходимости. Рассмотрим два положения элементарной векторной трубки (см. рис. 2*) в моменты времени t и t-\-St. Обозначим через т' объем, занятый в момент времени + А^ теми частицами жидкости, которые в момент времени t занимали объем т.

Масса жидкости в объемах тих' одинакова, т. е.

ea6r=eV6r-fd6r. Используя условие сохранения интенсивности векторных трубок

оа= а а ,

ИСКЛЮЧИМ из равенства (9*) площадь поперечного сечения а; в результате имеем

Здесь через tj обозначен некоторый скаляр.

Так как векторы йг и а коллинеарны, то это равенство можно переписать в векторной форме

-*£±

откуда Но

6r=6q=(6r, V)q=nMq, поэтому равенство (10*) окончательно можно переписать в виде

Принимая во внимание уравнение неразрывности

и проводя дифференцирование в левой части уравнения (11*), получаем условие (8*).

Доказательство достаточности. Предположим теперь, что векторное поле а удовлетворяет уравнению (8*). Построим новое векторное поле b таким образом, чтобы в начальный момент t = to оба поля совпадали и таким образом, чтобы векторное поле b удовлетворяло условиям сохраняемости; тогда век*горное поле b также будет удовлетворять уравнению (8*):

J-(b, V)q-f bVq = 0.

Таким образом, вектор-функции а и b решают одну и ту же задачу Коши для, уравнения (8*). В силу теоремы Коши - Ковалевской эти вектор-функции тождественны, что и требовалось доказать. Пусть теперь поле а есть поле вихрей

а--С

В 9T0M случае условие (8*) запишется в виде

V)q-fSVq = 0. (12*)

2) Выведем теперь уравнение Гельмгольца. Для этого к уравнению движения

5 + v(lq )-qXS=F-lvp

применим операцию вихря. Тогда после несложных выкладок мы получим следующее уравнение:

V)q+£Vq=VxF + l(VQXVp).

(13*)

Полученное уравнение носит название уравнения Гельмгольца.

На основании теоремы Фридмана мы можем утверждать, что для сохраняемости вихрей необходимо и достаточно, чтобы правая часть уравнения Гельмгольца обратилась в нуль. Отсюда, как следствие, получается теорема Гельмгольца.

Теорема Гельмгольца. Если массовые силы консервативны, т. е. если F=VV ы течение жидкости баротропно, т- е. Q = f(p), то вихревые линии и интенсивность вихревых трубок обладают свойством сохраняемости.

В самом деле, в этом случае

VXF = VX VV = 0,

Vex Vp = vcx vp = o.

3) Если жидкость несжимаема, то в случае консервативных сил уравнение Гельмгольца принимает вид

В частном случае, когда движение плоское, т. е. в случае, когда q = q (;с, у), £=5*°, отсюда следует, что dZ/dt = 0, т. е. вихрь в данной частице не изменяется со временем.

приложение к главе 19

1. Силы и деформации

1) Силы, действующие на жидкую частицу, разделяют обычно на массовые и поверхностные. К числу первых относятся силы тяготения и инерции. Они определяются некоторым векторным полем - полем напряженности.

Поверхностными силами называются силы, возникающие в результате поверхностного взаимодействия частиц жидкости. Эти силы не могут быть описаны векторным полем. Пусть S - некоторая поверхность, проведенная внутри жидкости (рис. 3*). Тогда на частицы жидкости, лежащие слева от поверхности S, действует некоторая сила со стороны частиц жидкости, лежащих справа от поверхности S. Силу, действующую через площадку dS на частицы жидкости, лежащие слева от S , со стороны частиц, лежащих справа, будем обозначать р„ dS. Силу, действующую иа частицы, лежащие справа, со стороны частиц, лежащих слева, будем обозначать р dS. Согласно третьему закону Ньютона, имеем

Рп = Р-п,

где п* обозначает направление нормали.

Изменив форму поверхности (а следовательно, и направление нормали в точке Р), мы получим другое значение вектора р„.

Таким образом, поверхностные силы зависят от ориентации площадки и, следовательно, в данной точке Р не могут быть определены единственным образом.

Вектор Рп в общем случае составляет некоторый угол с нормалью п . Проекцию этого вектора на направление нормали будем называть нормальным напряжением. Иногда будем употреблять термин нормальное давление или растяжение , смотря по тому, тупой или острый угол образует вектор р„ с положительным направлением нормали. Компоненту вектора р„, лежащую в касательной плоскости к поверхности S, будем называть силой трения или касательным напряжением.

2) Докажем, что поверхностные силы (напряжения) полностью определяются заданием в каждой точке пространства трех векторов, причем эти

три вектора образуют аффинный тензор второго ранга.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим равновесие жидких частиц внутри некоторого тетраэдра, грани которого параллельны координатным плоскостям (рис. 4*). Согласно принципу Даламбера, эта система материальных точек будет находиться в равновесии, если к числу массовых сил добавить силы инерции. Но так как объемные силы пропорциональны кубу линейного размера, а поверхностные - квадрату линейного размера, то прн исследова-Рис. 4*. НИИ равновесия тетраэдра достаточно малых

размеров мы можем ограничиться рассмотрением только одних поверхностных сил. Это замечание не ограничивает общности, так как в процессе доказательства теоремы мы совершим предельный переход, стягивая тетраэдр в точку. Объемные силы окажутся при этом малыми величинами высшего порядка.

Обозначим через грани, нормали к которым совпадают с отрицательными направлениями координатных осей, а через S - наклонную грань тетраэдра. Условие равновесия запишется в виде

SS,p ,-+-5p = 0, (1*)

но п? = - х?; Si = S cos (xi,n) = Sa i, поэтому равенство (1*) можно переписать следующим образом:

2 P-x,ani + Рп = О,

или

Pn = SPxAi- (2*)

Равенство (2*) справедливо с точностью до малых величин второго порядка (отброшены малые величины третьего порядка). Стягивая тетраэдр к точке Р, мы получаем точное равенство (2*), справедливое в любой точке жидкости Р. Равенство (2*) показывает, что в любой точке внутри жидкости напряжение рп, отнесенное к площадке, имеющей нормаль по, однозначно определяется тремя векторами pj.

Этг тройка векторов образует тензор. В самом деле, ориентация площадки S, а следовательно, и нормали п совершенно произвольны. Поэтому мы можем произвольную тройку ортогональных векторов у? = п? (нормалей к трем площадкам Si) принять в качестве новых осей декартовой системы координат.