хну Ту + У

Тогда или Г

(3 9) dy

принимает вид У + У = О, т.

+ 1=0, откуда Уравнение (3.11) представляет

(3.11)

собой

уравнение фазовых траекторий рассматриваемой системы автоматического регулирования температуры в режимах, описываемых уравнением (3.9). Как видно из (3.11), фазовые траектории на этом участке представляют собой параллельные прямые линии, отстоящие друг от друга на величину ординаты с, равной постоянной интегрирования (рис. 3.5). Ширина рассматриваемого участка равна 2а - зоне нечувствительности поляризованного реле, т. е. зоие нечупг- нтельности нелинейного элемента.

i ассуждая аналогично, получим уравнения фазовых траекторий:

для режима работы, соответствующего условию (3.8),

х==Т[кВЫ^{у + 1гВ)-у]+с,- (3.12)

для режима работы, соответствующего условию (3.10),

X = -T[kB In (у - kB) +у]+ Cs.

Фазовые траектории, построенные по уравнениям (Э.П) на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Фазовые портреты нелинейной системы с релейной-типовой нелинейностью

нечувствительности

ние (3.12), (3.13))

II -

-(3.13),

с зоной. (I - уравне-(3.11), III -

(3.13)

представлены:

3.3. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА

Метод гармонического баланса как один из методов исследования нелинейных динамических систем основан на использовании свойства реальных элементов систем не пропускать колебания высших гармоник-свойства фильтра. Фильтрующие свойства элементов динамических систем зависят от их инерционности. В тех случаях, когда эти свойства проявляются достаточно ярко, периодические режимы в системе носят характер, близкий к синусоидальному закону. Тогда, независимо от характера периодических возмущений приложенных к системе, на ее выходе можно рассматривать лишь колебания основной гармонической составляющей.

Использование метода гармонического баланса позволяет сравнительно легко исследовать автоколебательные режимы в нелинейных системах на устойчивость, определить частоту и амплитуду устойчивых автоколебаний с достаточной степенью приближения. Рассмотрим основы метода на примере нелинейной системы, состоящей из линейной части и безынерционного нелинейного элемента НЭ (рис. 3.6).

В режиме автоколебаний каждая из координат системы совершает периодическое движение с одинаковой частотой, но с разными амплитудами и фазами. На основе сформулированного выше прин-

Гт(ш,А)

Рис. 3.6. К методу гармонического баланса: -нелинейная система; б - ее динамические характеристики

ципа гармонического баланса считаем колебания координат системы синусоидальными. В этом случае для характеристики, динамических свойств линейной части системы можно использовать амплитудно-фазовую характеристику линейной части:

Ц7(/(о) =Xi/X2. (3.14)

Свойства нелинейного элемента характеризуются формой его статической характеристики X2=/h.8(.Xi). Для оценки динамических свойств НЭ введем также понятие эквивалентной амплитудно-фазовой характеристики нелинейного элемента /н.э(-Л), где А - отношение амплитуды величины Х^, на выходе безынерционного НЭ к амплитуде синусоидально изменяющейся величины Х\ на входе этого элемента. В силу безынерционности НЭ характеристика/н.э(-Л), являясь функцией амплитуды величины на выходе НЭ, не зависит от частоты изменения входной и выходной величин.

Изложенные предпосылки-принцип гармонического баланса и безынерционность нелинейного элемента - позволяют считать, что характеристика /н.э(-Л) полностью определяется формой статической характеристики и может быть определена по заданной зависимости Х2-\.ъ{Х\). Действительно, в соответствии с принципом фильтра в режиме автоколебаний на входе НЭ имеется синусоидально изменяющаяся величина с амплитудой А и частотой ю:

Хх= А sin (О?.

Величина Х^ на выходе НЭ в общем случае будет изменяться по некоторому периодическому закону, определяемому свойствами НЭ. Если нелинейный элемент обладает достаточными фильтрующими свойствами, то на его выходе можно принимать во внимание только первую гармоническую составляющую разложения в ряд Фурье величины Хч.{1), исключив из рассмотрения составляющие, содержащие высшие гармоники. Исходя из этого, величина на выходе НЭ определится так:

2(0 = н.э№ (0] = U.AA sin со/]

или

2 (t) К А\В{А) sin (о/ + С (Л) cos Щ,

Таблица 3.2

графическая зависимость

/о

-/о

о а--/о

-а

А

arc tg or

arc tg ti

arctg or /о

0 fl -/o хг

Значения коэффициентов

5() = -yrr) c()=o

=cr- f [arcsb [arcsinf + vl - ( т)] ;

A A

c(a) =0

Для Л >a + b{a) = (0-2 - a, + sui2c2 - sincj) где arc sin -j = oi < -j (72=arcsiii i-(s+)< - C(-4)=0

где Ci=arccos[l-]<,r

где В {A), с (Л)-коэффициенты первой гармоники разложения функции Xs (t) в ряд Фурье.

При разложении функции Xzit) в ряд Фурье не учтена постоянная составляющая разложения, так как предметом рассмотрения являются ординаты переменных, обусловленные автоколебаниями.

Коэффициенты В{А) и С {А) определяются как коэффициенты ряда Фурье:

В{А) =-1 /н.8(Л sino)/) sin(ntddit;

о

С (А) = fii.3{A sin (ot) cos (ntddit.

Имея значения коэффициентов ВСЛ) и С(А), можно найти характеристику

JnMA) =В{А) +jC{A).

Коэффициенты В (А) и С (А) могут быть вычислены при известных зависимостях X2-fB.s{Xi). Для ряда типовых нелинейностей коэффициенты В (А) и С (А) приведены в табл. 3.2. Для однозначных нелинейных характеристик С (А) =0.

Проведенные рассуждения позволяют приближенно заместить нелинейный элемент эквивалентным линейным элементом с характеристикой 1н.ь{А), у которого отношение модулей векторов синусоидально изменяющихся выходной и входной величин такое же, как у исходного нелинейного элемента (рис. 3.6, а):

/н.э(Л) (3.15)

Перемножая уравнение (3.14) и (3.15), получаем

л(/С0)/н.э(Л) = 1

нли с учетом замыкания системы отрицательной обратной связью

-Wijw) =1/ЫА). (3.16)

Выражение (3.16) можно рассматривать как условие возникновения периодических движений с частотой оз и амплитудой А. Из i(3.16) следует, что в точках пересечения характеристик-Wyijo)) и 1 н.э(Л) (рис. 3.6, б) можно определить параметры автоколебаний. В этих точках по характеристике -л(/оз) определяется частота автоколебаний, а по характеристике 1 н.э(Л) -амплитуда.

Из (3.16) следует, что

-1л(/со)/н.э(Л) = i. (3.17)

Таким образом, значение модуля произведения (3.17), равное единице, означает наличие автоколебательного режима. Очевидно, что автоколебания будут расходящимися в точках комплексной плоскости (рис. 3.6, б), для которых имеет место условие

\п{](й)1н.э{А) \ > 1, и сходящимися при условии I 1?л(/сй)/н.эХ

Х(-)<]. Сформулированные условия позволяют проанализировать устойчивость автоколебательных режимов и прийти к выводу, что автоколебания с параметрами, определяемыми точкой F, т. е. с частотой (Of и амплитудой Ар, устойчивы, а автоколебания с параметрами, определяемыми точкой G, т. е. с частотой юо и амплитудой Ло, - неустойчивы.

Действительно, рассмотрим два динамических режима, соседних с режимом, определяемым точкой F. Система, выведенная из состояния устойчивых автоколебаний в сторону увеличения параметров автоколебаний (частоты и амплитуды), будет стремиться -вернуться в равновесное состояние, т. е. в состояние, определяемое точкой F. Для режима, характеризуемого точками D я Е, имеем

Ае > Ар; (Ос > (lip;

1 н.э(Ае) = ОЕ; -(/ю) = 0Z); (/cud)/н.э(Ае) \ = OD/OE.

Так как 0D < ОЕ, то 1У'л(/со1))/н.э(Ле) < 1, т. е. режим автоколебаний с параметрами > (Hf я Ае > Ар будет сходящимся, и система стремится возвратиться в состояние, характеризуемое точкой F.

Для режима Лв<1Лу и юссог (точки В и С) имеем:

л(/сос)/н.э(Лв) = ОС/ОБ.

ак как ОС > ОВ, то 11?л(/а)с)/н.э(-Лв) > 1, т. е. режим автоколебаний с параметрами Ав <. Ар я (ос <. cof будет расходящимся, и система вновь стремится в состояние, характеризуемое точкой F.

Проведя аналогичные рассуждения, можно убедиться в том, что выведенная из режима, характеризуемого точкой С, система не стремится возвратиться в этот режим, следовательно, автоколебания этого режима неустойчивы. Полученные результаты позволяют сформулировать критерий устойчивости автоколебаний, базирующийся на принципах гармонического баланса, применительно к нелинейной системе, состоящей из линейной части и одного безынерционного нелинейного элемента: режим автоколебаний будет устойчивым, если годограф амплитудно-фазовой характеристики линейной части системы, взятой с обратным знаком [-1?л(/оз)], не охватывает точку годографа обратной эквивалентной амплитудно-фазовой характеристики 1 н.э(-) нелинейного элемента, соответствующую несколько увеличенной амплитуде по сравнению с амплитудой в точке пересечения характеристик -W7(/(o) и 1 н.э(Л).

В тех случаях, когда под знак нелинейной функции входят не только координаты системы, но и их производные, более удобным для анализа нелинейной системы становится метод гармонического баланса, разработанный Е. П. Поповым. Суть метода в том, что нелинейное уравнение приводится к формально линейному, но содержащему коэффициенты, зависящие от частоты и амплитуды колебаний. В результате для фиксированных значений частоты и амплитуды становится возможным применение методов линейной теории управления без каких-либо ограничений. Так как предметом анализа обычно являются автоколебательные режимы, имеющие определенное значение частоты и амплитуды, то очевидна большая эффективность метода Е. П. Попова.

Для иллюстрации метода рассмотрим нелинейную систему, состоящую из линейной части и нелинейности, под знаком

4 260 , , 97

которой кроме входной величины содержится ее первая производная:

X2 = f(Xi,Xi).

Опираясь на метод гармонического баланса, примем Xi = .-А sin (о/, следовательно,

Х<1, = /н.э(Л sin и/, Ло cos to/). (3.18)

Введя новую переменную и=ы1 и разложив (3.18) в ряд Фурье, получим, без учета постоянной составляющей и высших гармоник,

- \fs.b{A sin и, соЛ cos и) sin udu

о

- /н.э(Л sin и, соЛ cos и) COS йы

sin и +

о

COS и.

Учитывая, что sin и = sin со/ =Х1/Л; cos и = cos со/ =Х1/(Л(й), имеем:

Х2 :;Р(Л,(о)Хг+---Хи (3.19)

где F{A, со) == -Г ! /н.э(Л sin и, Лео cos ы) sin udu;

G (Л, со) = /н.э (Л sin , Лео cos и) cos ыйы.

о

При постоянных значениях и) и Л выражение (3.19) является линейным. В этом случае нелинейный элемент так же, как линейную часть, можно охарактеризовать передаточной функцией

1н.э(р) =/Сн.э(р)/(Ян.э(р)).

Передаточная функция всей нелинейной системы

где (р)-К'п(р)/Ял(р) - передаточная функция линейной части системы.

Уравнение (3.20) можно исследовать любым методом, рассмотренным в предыдущей главе применительно к линейным динамическим системам. Из (3.20) следует, что характеристическое уравнение нелинейной системы при фиксированных значениях Л и со имеет вид

Кл(р)КпМр) + н^{р)НяАр) = О- (3.21)

Очевидно, что автоколебания возникают всегда, когда уравнение (3.21) содержит два чисто мнимых корня.

В практике исследования нелинейных динамических систем

широко используются также различные графические и графоаналитические методы. Графические методы расчета переходных процессов в нелинейных системах обычно представляют собой ту или иную интерпретацию графического решения нелинейных уравнений в конечных разностях. Точность графических методов зависит от выбранного шага интегрирования. Графические методы исследования динамических систем обладают большой наглядностью, но неудобны для анализа влияния тех или иных факторов на результаты расчетов переходных процессов.

Г л а в а 4

ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

41, ОСОБЕННОСТИ ДИСКРЕТНОГО УПРАВЛЕНИЯ. КВАНТОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ВЕЛИЧИН. МОДУЛЯЦИЯ ИМПУЛЬСОВ

Дискретными называются системы, в которых переменные, характеризующие систему, носят прерывистый дискретный характер. Работа дискретных систем (ДС) связана с воздействием, передачей и преобразованием последовательности импульсов. В отдельные точки ДС сигналы управления поступают в некоторые заданные или случайные промежутки времени. Характерной чертой любой ДС является наличие импульсного элемента (ИЭ), с помощью которого осуществляется преобразование непрерывных величин в последовательность дискретных сигналов - импульсов.

Дискретные системы находят весьма широкое применение в практике управления разнообразными техническими устройствами. Область применения ДС - управление различными электромеханическими и электромагнитными устройствами, электрическими цепями, системами телеизмерения и телеуправления, различными многоканальными системами связи, системами радиоуправления и т. д.

Дискретные системы имеют ряд существенных преимуществ перед непрерывными системами. К важнейшим из них относятся повышенные помехозащищенность и точность системы управления, вытекающие из того факта, что сигнал управления в ДС подвергается помехе только в дискретные моменты времени. В ДС можно более эффективно использовать каналы передачи сигналов управления.

Так же, как и непрерывные, дискретные системы могут быть разомкнутыми и замкнутыми.

Примерами простейших ДС являются электродвигатели и элек-тро^магнитные механизмы с системой управления, обеспечивающей импульсный режим работы, устройства телеизмерения, многоканальные системы связи, импульсные счетно-решающие устройства и пр. Примерами более сложных дискретных систем являются

4* 99

Рис. 4.1. Квантование непрерывных сигналов:

й - по уровню; б - по времени; в - по уровню и времени

различные системы прерывистого регулирования, импульсные следящие системы, системы автоматического управления, содержащие цифровые вычислительные устройства, системы радиотелеуправления.

Современная теория управления располагает универсальным методом исследования дискретных систем, единым для разнообразных типов ДС. Этот метод основан на использовании специального математического аппарата - дискретного преобразователя Лапласа, который позволил максимально приблизить методологию исследования ДС к методологии исследования непрерывных систем. Использование дискретного преобразования Лапласа дало возможность ввести для дискретных систем ряд понятий, формально аналогичных понятиям теории непрерывных систем, таких как передаточные функции, частотные характеристики и пр. Однако эта аналогия в значительной степени носит формальный характер, вследствие чего теория управления дискретными системами имеет существенные особенности, обусловленные наличием в этих системах импульсных элементов.

Работа ДС связана с квантованием непрерывных сигналов - преобразованием непрерывного сигнала, при котором осуществляется дискретизация сигнала по уровню или по времени, или одновременно по уровню и времени (рис. 4.1).

При квантовании по уровню непрерывный сигнал x{t) преобразуется в последовательность дискретных сигналов, фиксированных в произвольные моменты времени (рис. 4.1, о) при условии Д >;=:const. Дискретные системы, в которых реализуются сигналы, квантованные по уровню, называются релейными системами. В этих системах квантование по уровню осуществляется релейным элементом, на выходе которого может фиксироваться конечное число уровней (часто 2-3 уровня). Квантование по уровню является нелинейным преобразованием входного сигнала x{t), следовательно, релейные системы относятся к классу нелинейных систем.

При квантовании по времени (рис. 4.1,6) сигналы фиксируются в дискретные моменты времени Д /=const. При этом уровни сигнала могут принимать произвольные значения. Дискретные системы, реализующие сигналы, квантованные по времени, назы-вактгся импульсными системами (ИС). В этих системах квантова-

Рис. 4.2 Модуляция импульсов: а - немодулнрованная последовательность импульсов; б - амплитудно-импульсная модуляция первого рода; в -импульсная модуляция второго рода

ние ПО времени осуществляется импульсным элементом, который в частном случае пропускает входной сигнал x{t) лишь в течение некоторого времени.

.1ри квантовании по уровню и по времени (рис. 4.1, е) непрерывный сигнал заменяется дискретными уровнями, ближайшими к значениям непрерывного сигнала в дискретные моменты времени A=const. Дискретные системы, реализующие сигналы, квантованные по уровню и по времени, называются релейно-импульс-ными, нли цифровыми. В этих системах квантование по уровню и по времени осуществляется кодоимпульсным модулятором или цифровым вычислительным устройством.

В дальнейшем рассмотрение дискретных систем ограничено импульсными системами. Теория ИС изучает динамические свойства, методы расчета, исследования и построения импульсных систем.

Последовательность импульсов в ИС подвергается импульсной модуляции. Процесс импульсной модуляции состоит в изменении по определенному временному закону какого-либо параметра периодически повторяющихся импульсов. Применительно к немоду-лированной последовательности импульсов (рис. 4.2, а) такими параметрами являются амплитуда импульса А, длительность, или ширина, импульса р7, расстояние между импульсами, или период повторения, Т. Величина, определяющая закон модуляции, называется модулирующей величиной.

Если по закону изменения модулирующей величины изменяется амплитуда импульсов, то модуляция называется амплитудно-импульсной (АИМ), если изменяется ширина - широтно-импульсной (ШИМ), при изменении периода - временно-импульсной модуляцией (ВИМ).

Вид модуляции, при которой параметры последовательности импульсов изменяются в зависимости от значений модулирующей величины в фиксированные равноотстоящие друг от друга моменты времени, называется импульсной модуляцией первого рода. В этом случае модулируемый параметр - амплитуда, ширина или частота импульса - определяется значением модулирующей величины в равноотстоящие дискретные моменты времени. На рис. 4.2, б показана амплитудно-импульсная модуляция первого рода.

Вид модуляции, при которой модулируемые параметры последовательности импульсов изменяются в соответствии с текущим значением модулирующей величины, называется импульсной модуляцией второго рода. В этом случае модулируемый параметр изменяется в течение времени существования импульса (рис. 4.2, в).

Широкий класс импульсных систем можно представить как совокупность непрерывной части и импульсного элемента. Непрерывная часть представляет динамическую систему той или иной физической природы - электрическую, механическую, электромеханическую, пневматическую и т. д.

Импульсные системы могут быть линейными и нелинейными. В линейных ИС соблюдается принцип суперпозиции: реакция ИС на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. В этих системах параметры импульсного элемента и непрерывной части не зависят от внещних воздействий и переменных, характеризующих состояние системы. К линейным ИС относятся, например, амплитудно-импульсные системы с линейной непрерывной частью и с линейной характеристикой импульсного элемента, под которой понимается зависимость модулируемого параметра выходной последовательности импульсов от соответствующих дискретных значений входной величины. В дальнейшем будут рассматриваться линейные импульсные системы, в которых ИЭ может быть включен до непрерывной части, после нее или между отдельными частями непрерывной системы. В замкнутых ИС импульсный элемент может находиться в прямой части системы, в цепи обратной связи или вне замкнутого контура.

4.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ ДИСКРЕТНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Математический аппарат описания непрерывных систем не может быть использован для описания дискретных систем, так как дискретно представляемые сигналы должны описываться функциями дискретной переменной. В связи с этим для описания дискретных систем в теории управления используются решетчатые функции и разностные уравнения. В теории дискретных систем решетчатые функции являются аналогами непрерывных функций, описывающих непрерывные системы, а разностные уравнения являются аналогами дифференциальных уравнений.

Решетчатой функцией называется функция, получающаяся в результате замены непрерывной переменной дискретной независимой переменной и определенная в дискретные моменты времени пТ, {п-\-\)Т (рис. 4.3, а). Непрерывной функции x{t) соответствует решетчатая функция х[пТ]. Очевидно, что непрерывная функция является огибающей по отношению к решетчатой функции. При заданном значении периода квантования Г конкретной непрерывной функции x{t) соответствует одна, вполне определенная, решетчатая функция х[пТ]. Однако обратного однозначного соответствия, между решетчатой и ее непрерывной функцией не