xCiiTJ

Я

Рис. 4.3. Решетчатые функции: а - преобразование непрерывной функции в решетчатую; б - разность первого порядка

существует, так как через ординаты решетчатой функции можно прорести множество огибающих.

Для определения значения решетчатой функции между точками .вантования используется понятие смещенной решетчатой функции x[nt. At], где 0<Д^< Г.

Аргумент решетчатой функции целесообразно представить так, чтобы отсчет по шкале времени вести в целочисленных единицах периода квантования Т. С этой целью вместо.переменной t в аргументе непрерывной функции введем новую переменную x-t/T. В таком случае непрерывной функции х{х) будет соответствовать решетчатая функция х[п].

Связь между значениями решетчатой функции при разных значениях аргумента определяется с помощью конечных разностей, которые являются аналогами производных в дифференциальных уравнениях. Разностью первого порядка, или первой разностью, называется разность между последующим дискретным значением решетчатой функции и ее предыдущим значением? (рис. 4.3, б):

Ах[п] =х[п+1]-х[п]. (4.1)

Разность первого порядка характеризует скорость изменения решетчатой функции и, следовательно, является аналогом первой производной непрерывной функции.

Разность первого порядка, как видно из (4.1), определяется, если известны два последовательных значения решетчатых функций.

Разность второго пррядка определяется как разность двух соседних разностей первого порядка:

АЧ[п\ = Ajcfn-f 1] -Ах[п] = {х[п + 2\ -х[п-\- 1]} - ~-{х[п-\- 1] - =х[/г + 2] -2х[п-\- 1] -fx[ ].

Таким образом, разность второго порядка определяется, если известны три последовательных значения решетчатой функции.

д1о аналогии с выражением разности второго порядка разность люоого т-го порядка будет

Д'пл;[п] = An-ix[n-f 1] - Д -1д^[ ]. (4.2)

Раскрывая в (4.2) разности через решетчатые функции, получим д п4 ] =2 (-l)i----х[ + т-Л.

Математическое описание линейных импульсных систем приводится к виду

OmAxln] + -]-----Ь аох[п] = О, (4.3)

где Ото - постоянные коэффициенты (т=0, 1, 2,...). Уравнение (4.3) является линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами - аналог однородного линейного дифференциального уравнения при описании непрерывных динамических систем. Решение (4.3) дает значение дискретной переменной х[п\ для каждого периода квантования.

Используя связь значений разностей с дискретными значениями решетчатой функции, уравнение (4.3) можно записать в виде

СтХ[п + т] -f Cm-iX[n + гп - I]-\-----\-Сох[п\ =0 (4.4)

или

т

Х Сгх[п + i] = 0. (4.5)

Уравнения (4.4) нлн (4.5) позволяют при известных значениях д:[0], л:[1 ],..., последовательно определить значения л:[0-1-т], х[1+т],...,х[п+т].

Подобно тому, как в теории непрерывных линейных систем для решения дифференциальных уравнений использовалось преобразование Лапласа, в теории импульсных систем для решения разностных уравнений используется дискретное преобразование Лапласа и его модификация - дискретное -преобразование.

Обратимся к преобразованию Лапласа для непрерывной функции X (t):

х(р) = fx(t)e-ptdt. (4.6)

Перейдем в (4.6) от непрерывной функции x(t) к дискретной х[пЦ, приняв t=nT. При этом интеграл превратится в сумму, а сумма приращений времени отобразится периодом квантования Т. Тогда

х(р) =Tx[nt]e-pTn (4J)

Введя обозначение е?* == z, получим

jc(z) =7:x[n7]; . (4.8)

Это уравнение представляет собой дискретное преобразование Лапласа, в котором выражение

x{z) = - (4.9)

называется z-преобразованием. Оно лежит в основе метода решения разностных уравнений. Как видно из (4.8) и (4.9), дискретное преобразование Лапласа X{z) отличается от г-преобразования наличием множителя Т.

Подобно тому, как при анализе непрерывных систем преобразование Лапласа позволяет перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим, более простым, так при анализе дискретных систем z-преобразование позволяет перейти от разностных уравнений к алгебраическим и существенно упростить анализ динамики дискретных систем.

В (4.9) функция X [fit] называется оригиналом решетчатой функции, а Xlz) -изображением. Для обратного перехода от изображения к оригиналу, т. е. для нахождения исходной решетчатой функции по ее изображению используется обратное z-преобразование:

4nT]=-X(z)z-dz. (4.10)

Для нахождения z-изображения в любые другие моменты времени, отличные от t==nT, используется прямое модифицированное z-преобразование

X{z,e) = i;x[(n-f 8)7]z- ,

где 8 - смещение по отношению к моменту квантования. Обратное модифицированное z-преобразование имеет вид

X[( -f 8)7] =$X(Z,8)Z -Irfz.

Рассмотрим порядок использования z-преобразования для нахождения решений линейных разностных уравнений. Пусть имеем неоднородное линейное разностное уравнение, приведенное к виду, аналогичному (4.5):

N М .

1:агу[п + 1] =j:bix[n + i], (4.11)

г=0 г=0

где а,-, bi - постоянные коэффициенты; y[n-{-i] - искомая выходная дискретная величина; - входная дискретная переменная; п, i - целые положительные числа.

Дополнив обе части уравнения (4.11) сомножителем z-( +)=: =z-zr\ получим

У(2) :агг-=Х(2) SbiZ-S

г=0 г=0

откуда получаем

м

У (Z) = X(Z) bi / 2 Uii.

г=0 г=0

Далее, с помощью обратного z-преобразования находим выходную дискретную переменную

y[n + i] - f Y[z]zn-idz.

2т

Необходимо подчеркнуть, что все рассуждения справедливы при нулевых начальных условиях, когда в начальный момент времени решетчатая функция равна нулю.

4.3. УРАВНЕНИЕ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

Анализ импульсной системы ограничим случаем, когда ее можно представить как совокупность импульсного элемента ИЭ и линейной непрерывной части НЧ. Рассмотрим сначала разомкнутую импульсную систему (рис. 4.4, а, б).

Импульсный элемент ИЭ преобразует непрерывную функцию x{t) в решетчатую х\1Т\, которая поступает на вход непрерывной части НЧ.

В силу инерционности НЧ на ее выходе будут генерироваться непрерывные сигналы y{t). Чтобы использовать математический аппарат описания дискретных систем, введем на выходе НЧ фиктивный импульсный элемент ИЭ1, работающий синхронно с ИЭ на входе системы. z-Изображения входной X{z) и выходной Y{z) величин имеют вид

X{z) =j:x[lT]z-i; Y(z) = Z;t/[nr]2- .

(4.12)

Так как непрерывная часть системы линейна, то непрерывная функция y\t) может быть определена как переходный процесс в системе, находящейся под воздействием последовательности импульсов х[1Т\. Как было отмечено в гл. 2, переходный процесс в линейной динамической системе в общем случае может быть выражен через импульсную переходную функцию ш(/) с использованием интеграла свертки (2.87). Применительно к рассматривае-

Jf3f у Ml

x(t)

e(i)

5 уГпП

В

Щ,.с(р)

Рис. 4.4. Импульсные системы:

а - разомкнутая без фнкснрующего элемента; б - разомкнутая с фийснрующнм элементом нулевого порядка; в - замкнутая с импульсным элементом; в - замкнутая с импульсным элементом в цепн обратной связи

мому случаю в интеграле (2.87) имеем x{t)=y{t); r=lT; м(т) = =х[1Т]. Таким образом, получаем

y(t) =j:a>{t-lT)x[lT]. (4.13)

На выходе импульсного элемента ИЭ1

у[пТ] =Z(i>[nT - tT]x[tT]. (4.14)

С учетом (4.12) и (4.14) получим выражение для 2-изображе~ ния выходной величины:

Y(z) i:a[nT - tT]x[lT]zr. (4.15> и=о г=о

Введем обозначение т=п-/, тогда z-=z-z-. С учетом этого и^ (4.15) вытекает

Y(z) = W{z)X{z), - (4.16).

где

W(z) =f:a[mT]z-. (4.17}

>n=0

Выражение (4.17) представляет собой z-изображение импульсной переходной функции (о(0. или функции веса. Уравнение (4.16) устанавливает связь z-изображений выходной и входной величин -

~W{z) =Y(z)/X(z). . (4.18)

По аналогии с непрерывными системами отношение z-преобразо-ванной выходной величины звена (системы) к z-преобразованной входной величине при нулевых начальных условиях называется дискретной передаточной функцией звена (системы).

Из приведенных рассуждений видно, что для определения дискретной передаточной функции системы необходимо, используя передаточную функцию непрерывной части системы, определить импульсную переходную функцию, или функцию веса ш(/), перейти к весовой последовательности импульсов (о[тГ] и просуммировать ряд (4.17). Из (4.16) видно, что, зная z-изображение входной величины и дискретную передаточную функцию, можно найти z-изображение выходной величины импульсной системы. Таким образом, получаем аппарат исследования ИС - дискретные передаточные функции,- аналогичный аппарату передаточных функций непрервных линейных систем. Следует, однако, подчеркнуть, что эта аналогия носит формальный характер.

Импульсная система может иметь в своем составе фиксирующий элемент ФЭ (рис. 4.4,6), который сохраняет амплитуду каждого предшествующего импульса до появления следующего импульса. Фиксирующий элемент такого типа называется фиксирующим Элементом нулевого порядка и может быть физически реали.-зован, например, с помощью конденсатора большой емкости.

Характер сигналов в различных точках системы в этом случае показан на рис. 4.4, б, из которого видно, что на выходе ФЭ генерируется ступенчатый сигнал с амплитудой, изменяющейся в моменты IT.

Дискретная передаточная функция импульсной системы с фиксирующим элементом нулевого порядка имеет вид

W{z)=-z{-f-\ , (4.19)

где z-ep - комплексная переменная; Z - символ z-преобразова-ния; W{p)-передаточная функция непрерывной части импульсной системы. Следует подчеркнуть, что под знак z-преобразования должна попасть передаточная функция всей непрерывной части системы. Такая оговорка необходима для импульсных систем, в которых непрерывная часть представлена несколькими последовательно соединенными структурными звеньями.

Передаточную функцию замкнутой импульсной системы рассмотрим сначала для случая, когда импульсный элемент включен в прямой цепи на входе непрерывной части с передаточной функцией Wi (р) (рис. 4.4, в). Так же, как и в разомкнутой системе, несмотря на наличие импульсного элемента ИЭ, на выходе непрерывной части Wi{p) рассматриваемой импульсной системы вследствие инерционности НЧ будет непрерывный сигнал y(t), который через обратную связь с передаточной функцией Wo.o(p) поступает на вход системы. Выделив в непрерывной функции y{t) решетчатую функцию у[пТ] и выполнив z-преобразования, найдем дискрет: ное значение сигнала ошибки на входе ИЭ:

8(г) =Х(г)-Уо.с(2). (4.20)

С другой стороны, величина e{z) может быть определена из выражения

Y(z)/e(z) = WUz), т. е. e{z) = Y(z)/W,{z). (4.21)

При отсутствии фиксирующего устройства z-изображение величины на выходе обратной связи имеет вид

У„.с(г) =Z{W,(p)Wo.c{p)}e{z). (4.22)

С учетом выражений (4.21) и (4.22) уравнение (4.20) принимает вид

--=Xiz)-Z{WAp)W..c(p)}-,

откуда получаем выражение передаточной функции рассматриваемой замкнутой импульсной системы без фиксирующего устройства:

Для формальной аналогии (4.23) с выражением передаточной функции замкнутой линейной непрерывной системы представим последнее выражение в виде

Wi (г)

l + W,Wc.c{z)

где1Г,ТГо.с(г) = (p) ТГ .с(р)}.

Если на входе непрерывной части импульсной системы будет находиться фиксирующее устройство нулевого порядка, то, проведя аналогичные рассуждения, найдем

г - 1 W,{p) Y(z) z р

W{z) =

Wi{p)Wc.c{p)

Выражение передаточной функции замкнутой импульсной системы существенно зависит от того, где включен импульсный эле-ыея- внутри контура системы. Пусть, например, он включен перед непрерывной частью обратной связи с передаточной функцией \р) (рис. 4.4, г). Разомкнув мысленно обратную связь на входе импульсного элемента, можно записать выражение для z-изображения выходной величины:

Y(z) = Z{W,(p)X{p)}-Z{Wo.c{p)W,{p)}Y(z),

WiX(z)

= I + Z{Wo.c{p)W,{p)) -где W,X(z) =Z{Wy{p)X{p)).

4.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

Так же, как и в непрерывных системах, под устойчивостью импульсных- систем понимается их способность с течением времени возвращаться в равновесное состояние после того, как это состояние было нарушено возмущающими воздействиями. Дискретный характер сигналов управления, передаваемых в импульсных системах, существенно усложняет анализ ИС на устойчивость, хотя рассмотренный выше аппарат передаточных функций дискретных систем делает порядок анализа ИС формально аналогичным анализу на устойчивость линейных непрерывных систем.

Для суждения об устойчивости импульсной системы необходимо проанализировать характер вынужденного движения в системе.

Общее уравнение движения импульсной системы, находящейся под влиянием возмущения, можно привести к виду

m ft

2 CiX [ (R -f i) Г] = :S ЪгУ [ (n -f i) T]. (4.24)

1=0 г=0

Левая часть этого уравнения вытекает из (4.5) при замене целочисленного аргумента n-ff на аргумент (n-fi) Г, а правая часть отражает эффект возмущающего воздействия y(t).

В развернутой форме (4.24) будет иметь вид

СоХ[пТ] + CiX[ {П + 1) Г] + ... + СтХ[ {п + гп) Т] =

= ЬоУ[пТ] + ЬгУ[(п+1)Т] + ..-+ЬМп + к)Т]. (4.25) Общее рещение уравнения (4.25)

х[пТ] =х4пТ] +Хо[пТ],

где Хв [пТ] - вынужденное движение системы; Хо [пТ] - свободное движение системы.

Об устойчивости системы следует судить по сходимости или несходимости составляющей Хо[пТ], определяемой из решения дискретного однородного уравнения

СоХ[пТ] + cix[(п -f 1)Г] -f ...-f СтХ[(п + т)Т] = 0. (4.26)

Решение его будем искать в виде

Хо[пТ] = ы Г^ т = 2, т. е. Хо[пТ] = z .

С учетом этого (4.26) примет вид

Со -f С,Ы( -Ы)Г -1------f-Cm ( + = 0.

После сокращения на ( 0) получим

Со + С, Г -f ... -f CraU = 0. (4.27)

Обозначив ы*=2, получим характеристическое уравнение свободного движения импульсной системы

Со -f c,z -----1- CmZ- = 0. (4.28)

Решение уравнения (4.28) имеет вид

Хо[пТ] - az + 22-. + ... -f Urz, (4.29)

где Zi, Z2, Zm- корни характеристического уравнения; щ, аг, Яга - постоянные коэффициенты, определяемые из начальных условий Хо [ОТ] ;хо[1Т]; Хо [2Т]; ...; [ (т-1) Г].

Очевидно, что решение (4.29) будет сходящимся, а система, имеющая характеристическое уравнение (4.28), будет устойчивой, если

limxo[nr] =0. , (4.30)

п->оо

Это условие будет выполнено, если каждое слагаемое правой части (4.29) удовлетворяет условию

limz=0, (4.31)

которое выполняется только тогда, когда все корни Zi, z,Zm по модулю меньше единицы, т. е.

lim 2 = О при \zra\ < 1 и lim z? О при \zj > 1.

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости импульсной системы является условие

< 1 (4.32)

для всех корней характеристического уравнения, соответствующего разностному уравнению системы.

Рис. 4.5. Геометрическая интерпретация условий устойчивости систем: а - линейной непрерывной; б - линейной импульсной

Учитывая, ЧТО 2=ез, преобразуем плоскость комплексного переменного р в комплексную плоскость корней z (рис. 4.5). Граница устойчивости линейной непрерывной системы (рис. 4.5, а) определяется условием p==jw. При этом система устойчива, если все корни находятся слева от мнимой оси. Эта граница на плоскости кор-.нек Z (рис. 4.5, б) отображается в окружность единичного радиуса. Действительно, г=е'* при p-ja. При z~l и при изменении частоты в пределах 0<;со<С2я/7 переменная z описывает на плоскости z окружность единичного радиуса. При дальнейшем изменении <й вплоть до 2гт/Т переменная z всякий раз описывает окружность единичного радиуса при возрастании со на 2л/Т.

Нетрудно заметить, что область, заключенная внутри круга единичного радиуса на плоскости z, соответствует значению параметров импульсной системы, при которых система устойчива, так как левая полуплоскость плоскости р отображается во внутреннюю плоскость круга единичного радиуса плоскости z. Действительно, если р---с-Ь/со, то непрерывная система устойчива и с увеличением значения с запас устойчивости увеличивается. Применительно к плоскости z в этом случае 2=ез=е-<=ез и при с->оо имеем z-0, т. е. запас устойчивости импульсной системы возрастает, если корни z перемещаются с окружности единичного радиуса внутрь.

Следовательно, в устойчивой импульсной системе корни на плоскости Z располагаются внутри круга единичного радиуса 2<;1. Это условие аналогично условию существования только левых корней для обеспечения устойчивости линейной непрерывной системы.

На основании сформулированного общего условия устойчивости линейных импульсных систем разработан ряд критериев устойчивости ИС, позволяющих вынести суждение об устойчивости по соотношению корней характеристического уравнения без вычисления, самих корней. Критерии устойчивости импульсных систем управления формально аналогичны соответствующим критериям устойчивости линейных непрерывных систем. В частности, аналог критерия Рауса - Гурвица позволяет вынести суждение об устойчивости импульсной системы на основе анализа соотношения корней характеристического уравнения системы

G (2) =Со + CiZ +C2Z + - + = 0. (4.33)

Для определения устойчивости ИС из коэффициентов уравнения (4.33) по определенному правилу составляются определители, которые в устойчивой ИС должны отвечать определенным требованиям. Вид этих определителей более сложен, чем определителей Гурвица для непрерывных линейных систем, так как в их состав входят не только сами коэффициенты,- но и их сопряженные значения, т. е. коэффициенты, расположенные обратносимметрично по отношению к коэффициентам уравнения (4.33).

Анализ устойчивости импульсных систем по аналогу критерия Рауса - Гурвица можно свести к процедурам, полностью аналогичным процедурам, имевшим место при анализе непрерывных ли,-нейных систем. С этой целью используется билинейное преобразование

1 + W Z- 1

Z = -- или W = --,-

1 - И) Z -f 1

которое отображает круг единичного радиуса плоскости z в левую полуплоскость плоскости W. С учетом введенного преобразования получается характеристический полином как однозначная функция шив отношении этого полинома условия устойчивости полностью совпадают с условиями Гурвица для непрерывных линейных систем.

В качестве примера рассмотрим условие устойчивости импульсной системы второго порядка, имеющей характеристическое уравнение

Aoz + Aiz + А2 = 0. (4.34)

1 -ftiy

эвку z = ское уравнение к виду

Бош2 +Biw + B2=0, (4.35)

где Бо = Ло -Л1-Лз; Bi = 2(Ло -Ла); В2 = Ло-f Л,-f Лг.

По критерию Гурвица для непрерывных систем линейная система, имеющая характеристическое уравнение (4.35), устойчива, если все коэффициенты этого уравнения положительны, т. е. если Во>0; Bi>0; В2Х).

Учитывая полученные соотношения коэффициентов В и А, находим условие устойчивости импульсной линейной системы, имеющей характеристическое уравнение (4.34):

Ло -Л, -Л2>0; 2(Ло -Л2)>0; Ло +Л,-f Л2 > 0.

Аналог критерия устойчивости Михайлова импульсных систем базируется на анализе значения результирующего угла поворота на плоскости z вектора, соответствующего характеристическому уравнению (4.33) С(г)=0. Это уравнение имеет т корней Zu 22,

Zm- При известных корнях (4.33) можно представить в виде произведения сомножителей

G (2) =a(zzi){z- z2) ...(z-Zm)= 0. (4.36)

Выполнив подстановку z = -, приведем характеристиче-