Рис. 4.6. Критерий устойчивости импульсных систем - аналог критерия Михайлова

При Z=&

G (ei) - - am (ез - Zi) (е}< - z)... (eJ - z ) = 0. (4.37)

При изменении со в диапазоне -я<Ссй<;я суммарный угол по-p.v- а вектора G(z) равен сумме углов поворота отдельных векторов - сомножителей {ei<-zt), i= 1, т.

В случае устойчивой импульсной системы все корни Zi, i=\,m, располагаются внутри круга единичного радиуса, который описывается концом вектора е' при изменении частоты в диапазоне -я<Ссо<Сл;. В случае неустойчивой импульсной системы все или часть корней расположатся за пределами круга единичного радиуса (рис. 4.6).

При 2, <!, т. е. в случае устойчивой ИС, конец вектора 0Л = =Zt будет находиться внутри круга единичного радиуса, а конец вектора 0В=о.з< при изменении частоты в пределах -я<;со<;я скользит по этой окружности (рис. 4.6, а). Угол поворота вектора AB=d-Zi, соответствующего i-му сомножителю (i=l,m) выражения (4.37), при изменении частоты в указанном диапазоне составит 2я. Следовательно, суммарный угол поворота , вектора G{z)=G{&), обусловленный всеми сомножителями произведения (4.37), при изменении частоты в пределах -я<со<я составит 2ят.

При 2г|>1, т. е. если система неустойчива, конец вектора

0=2,- окажется за пределами круга единичного радиуса (рис. 4.6,6). В этом случае вектор АВ = eJ -Zi при изменении частоты -я<;со<;я совершит одно колебательное движение, причем его поворот в положительном направлении (против часовой стрелки) будет равен повороту в отрицательном направлении (по часовой стрелке), а результирующий угол поворота вектора АВ будет равен нулю. Таким образом, каждый из корней 2г|>1, расположенный за пределами круга единичного радиуса,уменьшит результирующий угол поворота вектора G{z) = G(ei ) на 2л.

Иа основании изложенного аналог критерия Михайлова формулируется следующим образом: линейная импульсная система Оудет устойчива, если вектор G (е?) = G (eii) при изменении час-

тоты со от -п до п (при Т=1), вращаясь против часовой стрелки, совершает результирующий поворот на угол 2пт, где т - порядок полинома характеристического уравнения импульсной системы.

Критерий устойчивости импульсных систем - аналог критерия Найквиста - основан на связи между формой дискретной передаточной функции разомкнутой системы W{z) и свойством устойчивости замкнутой системы. Идея критерия и его доказательство аналогичны критерию Найквиста, рассмотренному в гл. 2 для линейных непрерывных систем. Аналог критерия Найквиста формулируется так: замкнутая импульсная система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой, если годограф вектора W{z), соответствующий дискретной передаточной функции разомкнутой системы при изменении частоты от О до 2л/Т, не охватывает точку на плоскости z с координатами (-1; /0).

4.5. КАЧЕСТВО УПРАВЛЕНИЯ В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ

Проблема качества управления в дискретных, в частности в импульсных, системах аналогична проблеме качества управления в непрерывных системах. Под качеством управления ИС понима- ется форма переходного процесса, которая при качественном управлении должна отвечать заданным требованиям - устойчивости, быстродействию, заданной форме дискретной выходной величины. В связи с этим после анализа ИС на устойчивость необходимо стабилизировать систему, если она неустойчива, и построить график переходного процесса, если система устойчива. Если в устойчивости ИС форма переходного процесса не отвечает заданным требованиям, то необходимо осуществить коррекцию ИС, сущность которой аналогична целям, задачам и методам коррекции непрерывных линейных динамических систем.

Построение переходных процессов в дискретных системах с использованием решетчатых функций и 2-преобразования рассмотрено в п. 4.2. Другой метод построения переходных процессов в замкнутых импульсных системах базируется на использовании частотной характеристики W{j(j)) замкнутой ИС. Характеристика W(jw) получается из дискретной передаточной функции W(z) замкнутой ИС путем замены г - е'*.

Построение переходных процессов в импульсной системе с ис-лользованием частотной характеристики WQo)) аналогично построению переходных процессов в линейных непрерывных системах по методу трапециевидных вещественных частотных характеристик, рассмотренному в п. 2.5. Однако наличие импуль-\ сного элемента вносит некоторые осо-.uduyjJS бенности. Приведем порядок опреде-

Рис 4.7. Типовая веществен- Дискретнои выходной величины

.ная частотная характеристика У [п] в импульсной системе управления замкнутой импульсной системы по методу, основанному на использо-

вании вещественной частотной характеристики замкнутой ИС. Отделив вещественную часть ReWC/ci)) от мнимой, построим зависимость вещественной частотной характеристики от частоты ю и ра-зобъем ее на отдельные типовые трапеции так же, как это делалось в непрерывных системах. Параметры типоаой трапециевидной вещественной частотной характеристики КсгСсо) показаны на рис. 4.7. Не останавливаясь на доказательстве, приведем выражение для определения выходной дискретной величины на базе параметров характеристики Re(о):

n-l-m

У[п\ = CkX[n- (l-m + k)],

где л;[и]-входная величина ИС; I - порядок полинома знаменателя передаточной функции замкнутой ИС; т - порядок полинома числителя передаточной функции замкнутой ИС; п - дис-крет1;не значения аргумента входной и выходной величин.

Коэффициенты определяются на основе параметров типовых хо ..лутеристик Re (со) по уравнению

3 sin Oik sin h(i>ik

где/ - число трапеций, на которые разбита характеристика Re (со);

i - номер трапеции (t=l, /), Si - площадь i-й трапеции.

Для определения значений коэффициентов удобно пользоваться таблицей значений sin х/х.

Коррекция импульсных систем отличается от коррекции непрерывных систем тем, что характеристики ИС зависят не только от структуры и параметров непрерывной части ИС, но и от характеристики импульсного элемента. В связи с этим коррекцию ИС, т. е. изменение характеристик импульсной системы управления с целью обеспечения устойчивости и требуемого качества управления, можно осуществлять как коррекцией характеристик непрерывной части, так и изменением процессов прерывания, т. е. коррекцией характеристик импульсных элементов. Коррекция ИС подразделяется на непрерывную и дискретную.

Наличие процессов прерывания в ИС усложняет определение последовательного корректирующего устройства, вводимого в непрерывную часть ИС. Действительно, пусть дискретная передаточная функция исходной ИС равна lF cy(2). После введения последовательного корректирующего устройства с передаточной функцией Wi,y{z) передаточная функция ИС примет вид W{z) =

= ( 7исхГк.у) (2).

Следует подчеркнуть, что {Wt<.yW cx) (z) WK.y{z)Wt,cA), так как вследствие прерываний в импульсной системе прохождение сигнала управления через отдельные звенья IFhcx(2:) и WK.y{z) не эквивалентно прохождению такого сигнала через последовательное соединение (И^к.у^исх) (Ю- Таким образом, дискретная передаточная функция разомкнутой системы не является произведением дискретных функций, полученных из соответствующих передаточ-

ных функций отдельных непрерывных звеньев, образующих систему.

При коррекции ИС в дискретную цепь вводятся дополнительные цепи, содержащие импульсные элементы, например импульсные фильтры. В этом случае передаточная функция разомкнутой ИС W{z)=W cx{z)Wicy{z), и метод коррекции ничем не отличается от метода последовательной коррекции непрерывных систем.

Передаточная функция WK.y{z) и соответствующее ей реальное физическое звено получаются сравнением частотных характеристик желаемой системы с характеристиками исходной системы.

Глава 5

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СИСТЕМ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Оптимальным называется управление, осуществляемое наилучшим по определенным показателям образом. Системы, реализующие оптимальное управление, называются оптимальными. Организация оптимального управления основана на выявлении и реализации предельных возможностей систем.

Теория оптимального управления возникла в середине 50-х годов текущего столетия на базе задач теории автоматического регулирования. Позже оптимальное управление распространилось на объекты производственно-экономического характера. Значительное развитие теория оптимального управления получила в результате работ советских ученых - академика Л. С. Понтрягина и его сотрудников В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. Эти работы широко используются для синтеза оптимальных систем управления как в нашей стране, так и за рубежом. Значительный вклад в развитие оптимального управления внесли советские ученые А. А. Фельдбаум, Н. И. Красовский, А. М. Летов, В. С. Пугачев и др., а также зарубежные ученые Р. Беллман, Р. Калман, М. Атанс, П. Фалб и др.

Важное направление развития систем оптимального управления - самонастраивающиеся системы, реализующие автоматическую оптимизацию. В этой области широко известны работы советских ученых В. М. Глушкова, П. И. Чинаева, В. М. Кунцевича, американских ученых Дж. Траскела, Л. Брауна и др.

При разработке систем оптимального управления одним из важнейших шагов является формулировка критерия оптимальности, под которым понимается основной показатель, определяющий задачу оптимизации. Именно по этому критерию оптимальная система должна функционировать наилучшим образом.

В качестве критериев оптимальности выступают разнообразные технические и технико-экономические показатели, выражающие технико-экономическую выгоду или, наоборот, потери.- В первом

случае оптимальное управление должно обеспечивать максимум критерия оптимальности, например производительности, коэффициента полезного действия, прибыли и т. д., при заданных реальных условиях работы и ограничениях. Во втором случае оптимальное управление должно обеспечивать минимум критерия оптимальности при заданных ограничениях, например расхода энергии, топлива, финансовых ресурсов и т. п.

В силу противоречивости требований, предъявляемых к системам автоматического управления, выбор критерия оптимальности обычно преврапдается в сложную задачу, имеющую неоднозначное решение. Например, оптимизация автоматической системы по критерию надежности может повлечь за собой увеличение стоимости системы, ее усложнение. С другой стороны, упрощение системы снизит ряд других ее показателей. К тому же, не всякое оптимальное решение, синтезированное теоретически, можно реализовать на практике на базе достигаемого уровня техники. В связи с этим чаще всего управление синтезируется оптимальным по какому-либ сновному критерию, а остальные, определяющие качество функционирования системы, ограничиваются областью допустимых значений. Это упрощает и делает более определенной задачу поиска оптимальных решений при разработке оптимальных систем. Вместе с тем усложняется задача выбора конкурирующих вариантов систем, так как они сравниваются по различным критериям, а оценка системы не имеет однозначного ответа. Действительно, без тщательного анализа множества противоречивых, зачастую неформализуемых факторов трудно ответить, например, на такой вопрос - какая из систем лучше: более надежная или менее дорогая?

Критерий оптимальности обычно представляется в виде некоторого функционала. Функционал в таком случае можно определить как функцию, аргументы которой связаны с критериями оптимальности и сами являются функциями переменных.

Обобщенный критерий качества работы динамической системы можно представить в виде функционала качества

J = F{C,K,H,W,M,V), (5.1)

где С - стоимость разработки, создания и эксплуатации системы; К - качество функционирования; Я - надежность; W - потребляемая энергия; М - масса; V-объем.

Каждый из перечисленных аргументов функционала / является самостоятельным критерием качества и функцией многих переменных.

Нетрудно видеть, что оптимизация системы по функционалу (5.1) практически невозможна, так как его значение определяется многими противоречивыми факторами. Поэтому в теории управления используются функционалы, характеризующие отдельные показатели качества работы систем управления. Применительно к динамическим системам функционал качества в общем случае включает в себя координаты выхода X{xi, xz.....Хп}, координаты

управляющих воздействий U{ui, U2,Ur} и координаты возмущающий действий F{fu /2, -, Ы, где п, г, к - число соответствующих переменных. При этом функционал качества систем в векторной форме имеет вид

J = SW(X,U,F)dt (5.2)

и

или

/ = JW{xu Х2,Хп-, щ, щ,.... Ur; fu f2,.... fh)dt, (5.3) t,

где tu /2 -интервалы времени, в которых определяется функционал.

Оптимальное поведение или состояние системы обеспечивается тогда, когда функционал (5.2) достигает своего экстремума /= = extr - максимума или минимума, в зависимости от физического смысла переменных.

В практике разработки и .исследования динамических систем наиболее часто встречаются две задачи: 1) синтез системы, оптимальной по быстродействию; 2) синтез системы, оптимальной по точности. В первом случае необходимо обеспечить минимум времени переходного процесса Xi{t), во втором - минимум среднеквадратичной ошибки (отклонения координаты Xi{t) от заданного значения) при заданных или случайных воздействиях.

Не останавливаясь на глубоком обосновании выбора конкретного критерия оптимального управления, укажем некоторые типы критериев оптимальности, подразделяя их в зависимости от режима работы динамической системы.

Критерий оптимальности системы, оптимальной по быстродействию,

J = j}{t)dt- тт. . (5.4)

При f(t)=[l] имеем J-t2-/i=min.

Система, оптимальная по точности в динамических режимах, характеризуется следующим функционалом качества:

j = fx () dt min, (5.5)

о

где Дл:(/) - отклонение выходной величины от заданного значения; О, Г - рассматриваемый интервал времени.

Квадрат переменной под знаком интеграла обеспечивает независимость критерия от знака отклонения выходной переменной. Критерий (5.5) характеризует суммарную ошибку в динамической системе управления за время переходного процесса. Минимизация функционала (5.5) означает ограничение отклонений регулируемой величины и времени их существования.

В ряде случаев используется обобщенная интегральная оценка, ограничивающая отклонение не только выходной переменной, но и ее производных.

Оптимальная по условиям инвариантности (независимости) от возмущения fi{t) система характеризуется показателем качества

/ = Л^ {t + т) р. it) dt min, (5.6)

о

где Xi{t) -переменная, для которой требуется обеспечить независимость от возмущения fi{t); т - приращение времени.

Для многомерных объектов управления, т. е. для объектов с .несколькими управляемыми переменными, необходимо обеспечить независимость некоторой переменной Xi{t) от другой переменной Xk{t)- Функционал качества в таких системах

J = fx\ {t + x) xl{t)dt min. (5.7)

Оптимальные системы, функционирующие по критерию (5.6), называются инвариантными, а по критерию (5.7) -автономными.

.ли экстремальное значение функционала качества зависит от многих переменных Q{xi,X2,Хп), то устанавливается одна, наиболее существенная из этих переменных Xj, и оптимизация системы осуществляется по критерию оптимальности и

f dQjxi, Х2,.... Хп) , .

J -ds- ~

В динамических системах автоматического управления часто ставится задача минимизации расхода энергии, затрачиваемой на функционирование системы. В этом случае минимизируется функционал качества, характеризующий расход энергии. Например, при управлении объектом, питающимся от источника электрической энергии, система, оптимальная по расходу энергии, должна удовлетворять условию

/ = / uidt- min, и

где и, i - напряжение и ток нагрузки.

В теории управления используются так называемые минимаксные критерии оптимальности, характеризующие условия наилучшей работы системы в наихудших возможных условиях. Примером использования минимаксного критерия может быть выбор на его основе варианта системы автоматического управления, имеющей минимальное значение максимального перерегулирования.

Как отмечалось выше, критерий оптимальности реализуется при наличии ограничений, накладываемых на переменные и на показатели качества управления. В системах автоматического управления ограничения, накладываемые на координаты управления, можно подразделить на естественные и условные.

Естественные ограничения отражают ограничения координат по модулю, вытекающие из естественных свойств системы и ее элементов: лгщах. Эти ограничения часто обусловливаются прин-

ципом работы объекта и элементов регулятора. Например, насыщение в~ электромагнитных цепях ограничивает выходную величину независимо от роста входной, расход топлива ограничен максимальным открытием клапанов и т. д.

Условные ограничения вводятся в систему сознательно с целью обеспечения конкретных требований. Например, сила тока электродвигателя ограничивается по условиям допустимого нагрева при заданном сроке эксплуатации. Условные ограничения обычно удовлетворяются ограничениями, накладываемыми на переменные управления ы|Ытах, что обеспечивает ограничение всех координат системы:

d-x dx

-----Л^ + О^ <k\tlm\.

Оптимальные системы классифицируются по различным признакам. Отметим некоторые из них.

В зависимости от реализуемого критерия оптимальности различают:

1) системы, оптимальные по быстродействию. Они реализуют критерий минимального времени переходных процессов;

2) системы, оптимальные по точности. Они формируются по критерию минимума отклонения переменных за время переходных процессов или по критерию минимума среднеквадратичной ощибки;

3) системы, оптимальные по расходу топлива, энергии и т. д., реализующие критерий минимума расхода;

4) системы, оптимальные по условиям инвариантности. Они синтезируются по критерию независимости выходных переменных от внещних возмущений или от других переменных;

5) оптимальные экстремальные системы, обусловливающие критерий минимума отклонения показателя качества от его экстремального значения.

В зависимости от характеристик объектов оптимальные системы подразделяются на линейные, нелинейные, непрерывные, дискретные, аддитивные, параметрические. Эти признаки, кроме двух последних, не нуждаются в пояснениях. В аддитивных системах воздействия на объект не изменяют его характеристик. Если же воздействия изменяют коэффициенты уравнений объекта, то такие системы называются параметрическими.

В зависимости от типа критерия оптимальности оптимальные системы подразделяются на следующие:

1) равномерно-оптимальные, в которых каждый отдельный процесс протекает оптимально;

2) статистически оптимальные, реализующие критерий оптимальности, имеющий статистический характер из-за случайных воздействий на систему. В этих системах наилучщее поведение обеспечивается не в каждом отдельном процессе, а лишь в некоторых. Статистически оптимальные системы можно назвать оптимальными в среднем;

р

3) минимаксно-оптимальные, которые синтезируются из условия минимаксного критерия, обеспечивающего лучшим наихудший результат по сравнению с подобным наихудшим результатом в любой другой системе.

По степени полноты информации об объекте оптимальные системы подразделяются на системы с полной и неполной информацией. В состав информации об объекте включаются сведения: о зависимости между входными и выходными величинами объекта; характере возмущения; состоянии объекта; задающем воздействии, определяющем требуемый режим работы системы; цели управления - функционале, выражающем критерий оптимальности.

Информация об объекте в действительности всегда неполная, однако во многих случаях это не оказывает существенного влияния на функционирование системы по избранному критерию оптимальности. В ряде же случаев неполнота информации настолько существенна, что при решении задач оптимального управления Tfv-гтся использование статистических методов.

В зависимости от полноты информации от объекте управления критерий оптимальности может быть выбран жестким (при достаточно полной информации) или приспосабливающимся , т. е. изменяющимся при изменении информации. По этому признаку оптимальные системы подразделяются на системы с жесткой настройкой и адаптивные. В число адаптивных систем входят экстремальные, самонастраивающиеся и обучающиеся системы. Эти системы наиболее полно отвечают современным требованиям, предъявляемым к системам оптимального управления.

5.2. ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Решение задачи синтеза оптимальной системы заключается в разработке системы управления, отвечающей заданным требованиям, т. е. в создании системы, реализующей выбранный критерий оптимальности. В зависимости от объема сведений о структуре системы управления задача синтеза ставится в одной из двух следующих постановок.

Первая постановка охватывает случаи, когда структура системы известна. В таких случаях объект и регулятор могут быть описаны соответствующими передаточными функциями, а задача синтеза сводится к определению оптимальных значений числовых параметров всех элементов системы, т. е. таких параметров, которые обеспечивают реализацию выбранного критерия оптимальности.

. Во второй постановке задача синтеза ставится при неизвестной структуре системы. В этом случае требуется определить такую структуру и такие параметры системы, которые обеспечат систему, оптимальную по принятому критерию качества. В инженерной практике задача синтеза в такой постановке встречается редко. Чаще всего объект управления либо задан как физическое устрой-

ство, либо описан математически, и задача синтеза сводится к синтезу оптимального регулятора. Следует подчеркнуть, что и в этом случае необходим системный подход к синтезу системы оптимального управления. Суть такого подхода заключается в том, что при синтезе регулятора рассматривается вся система (регулятор и объект) как единое целое.

На начальной стадии синтеза оптимального регулятора задача сводится к его аналитическому конструированию, т. е. к определению его математического описания. При этом одну и ту же математическую модель регулятора можно реализовать различными физическими устройствами. Выбор конкретной физической реализации аналитически определенного регулятора осуществляется с учетом условий работы конкретной системы автоматического управления. Таким образом, задача синтеза оптимального регулятора неоднозначна и может быть решена различными путями.

При синтезе системы оптимального управления весьма важно создание модели объекта, максимально адекватной реальному объекту. В теории управления так же, как в других современных областях науки, основными видами моделей объектов являются математические модели - уравнения статики и динамики объектов.

При решении задач синтеза оптимальной системы единой математической моделью объектов управления обычно является модель в форме уравнений состояния. Под состоянием системы автоматического управления в каждый момент времени понимается минимальный набор переменных (переменных состояния), который содержит количество информации, достаточное для определения координат системы в текущем и будущем состояниях системы.

исходные уравнения объекта обычно нелинейны. Для приведения их к форме уравнений состояний широко используются методы линейных преобразований исходных уравнений.

Для характеристики объекта управления введем следующие понятия:

X{xi, Х2,.... Хп} - вектор состояния объекта; У{Уи Уг,.... Ут} - вектор выходных величин;

U{ui,U2,...,Ur} -вектор управления, прикладываемого к объекту; {/ь?2, -. fi} - вектор возмущения;

X{to) = Хо - вектор начального состояния объекта.

Задача оптимизации в таком случае сводится к удовлетворению функционала качества J[X, U,F] при ограничениях XQx, Uu, где Qx - область допустимых значений координат состояния объекта; Qu - область допустимых значений управлений.

Широкий класс объектов оптимальных систем в результате линеаризации исходных уравнений может быть описан уравнениями:

X=f[X,U,F{t)]; Y = <p{X,U); X{to)=Xo;

XQx; f/ e Qu.

Например,

X = AX + BU-{-CF(t); YDX-\-EU; X(U)=Xo;