Главная »  Теория управления 

1 2 3 4 5 6 7 ... 31

дующие динамические расчеты САУ, будучи более трудоемкими, чем статические, окажутся напрасными.

Динамические режимы САУ анализируются на основе диффе-ренциальны.х уравнений, описывающих переходные процессы в элементах и системах. Динамические свойства САУ оцениваются по количественным показателям переходных процессов в системе, обусловленных некоторыми типовыми возмущающими воздействиями, прикладываемыми к системе. Характер типового воздействия выбирается из следующих соображений. Во-первых, это воздействие должно в максимальной степени отражать реальные возмущения, возможные в проектируемой системе. Во-вторых, это воздействие должно быть сравнительно легко воспроизводимым как при теоретическом, так и при экспериментальном исследовании. В-третьих, количественные показатели переходных процессов, обусловленных типовыми воздействиями, должны легко пересчиты-ватьсп в показатели переходных процессов, обусловленных возмущениями любого характера. Таким требованиям в значительной сгспени отвечает типовое воздействие в виде мгновенного скачка входной величины - единичного скачка. Действительно, единичное воздействие на входе в большой мере отражает процессы пуска и торможения в реальной системе и легко реализуется как аналитически, так и экспериментально.

Показатели динамики САУ определяются по форме зависимости XBbzx(t) при подаче на вход единичного скачка Xbx=[1] (рис. 1.15). К числу основных показателей динамических режимов САУ относятся устойчивость, время переходного процесса, перерегулирование, колебательность, среднеквадратичная ошибка и др.

Устойчивостью называется способность системы управления, выведенной из равновесного состояния, с течением времени возвратиться вновь в равновесное состояние. Кривая 1 на рис. Т.15 характеризует устойчивую систему, а кривая 2 - неустойчивую. Устойчивость - основное требование, предъявляемое к САУ. так как неустойчивая система неработоспособна и должна быть стабилизирована. Стабилизация САУ достигается соответствующим изменением ее параметров без ущерба для основного назначения системы, призванной выполнять

нее вопросы анализа САУ на устойчивость освещены ниже.

Временем переходного процесса tn в САУ называется отсчитываемое от начала приложения воздействия время, в течение которого регулируемая величина достигает значения, отличающегося от установившегося в заданных пределах. На рис. 1.15 знаком Д обозначена допустимая статическая ошибка регулирования.

2 260

- - -

л.....

Рис. 1.15. Основные показатели динамики САУ



Перерегулированием omax называется максимальное отклонение регулируемой величины от установившегося значения. Обычно эта величина выражается в процентах от установившегося значения регулируемой величины:

.атах =-;--100%.

Колебательность определяется числом р, переходов регулируемой величины через установившееся значение (числом колебаний) в течение времени / . При (.i>2 переходный процесс определяется как колебательный, при я=0 - как процесс без перерегулирования (кривые 3 и 4). Если при р,-О величина Жвых>0, то переходный процесс характеризуется как монотонный (кривая 3 на рис. 1.15).

. Среднеквадратичная ошибка определяется как положительный квадратный корень: Acv.v.i=M[\x*(t)-~x{t)\, где x(t), x*(t) - желаемое и фактическое значения выходной величины; М - символ математического ожидания.

Среднеквадратичная ошибка позволяет оценить динамическую точность системы.

Перечисленные показатели динамических режимов САУ часто называют показателями качества системы. Значения этих показателей содержатся в задании на проектирование системы управления.

1.5. ПОСТАНОВКА И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ

Постановка задач управления,в общем виде не зависит от характера объекта управления, но методы решения этих задач существенно отличаются.

Во всех случаях задача управления заключается в том, чтобы в любой момент времени обеспечить требуемое состояние объекта управления. Это состояние определяется набором функциональных характеристик.

Различают задачи управления: 1) в технических системах; 2) в организационно-экономических системах.

Технические системы часто называют динамическими, имея в виду высокую скорость протекания переходных процессов в них. Задача управления объектом в технической системе может быть поставлена либо как задача анализа системы управления, либо как задача синтеза.

При решении задач анализа известна структура всей системы и параметры объекта управления, определяемые из назначения и условий эксплуатации объекта. Задача разработки системы управления в этом случае сводится к определению параметров регулятора, обеспечивающих заданные статические и динамические показатели системы управления.

Исходными данными для решения задачи анализа систем управления являются их математические модели, составляемые на



г

основе математического описания элементов и системы в целом. Математическое описание динамических систем управления базируется на алгебраических и дифференциальных уравнениях, а также на разностных уравнениях. Для решения дифференциальных уравнений динамики САУ широко используется преобразование Лапласа, позволяющее перейти от функций времени x(t) к функциям комплексного переменного х(р):

х{р) =fx{t)ptdt, (1.11)

о

где р - комплексное число.

Функция x(t) в выражении (1.11) называется оригиналом, а х(р) - изображением.

В задачах анализа линейных систем автоматического управле-ня преобразование Лапласа осуществляется при нулевых начальных условиях, т. е. при условиях, когда при /=0 сама функция х- и ее производные обращаются в нуль. В таких случаях замена оригиналов изображениями позволяет перейти от дифференциальных уравнений динамики САУ к алгебраическим уравнениям. Действительно, пусть имеется функция

Применив к выражению (1.12) преобразование (1.11) при нулевых начальных условиях, найдем

(P)p-f{p). (1.13)

Таким образом, при указанных условиях переход от дифференциальных уравнений оригиналов к зависимостям в форме изображений сводится к тому, что в исходных дифференциальных уравнениях динамики САУ оригиналы функций заменяются их изображениями, а операции дифференцирования - умножением на р. В итоге система дифференциальных уравнений заменяется системой алгебраических уравнений, которые решаются значительно проще. В результате решения получаем изображения, от которых можно вновь перейти к оригиналам путем обратного преобразования с использованием теорем операционного исчисления. Часто, однако, обратного преобразования не требуется, так как в теории управления разработаны эффективные методы определения качества управления, базирующиеся на анализе операторных ypaisne-ний - уравнений в изображениях. Часть этих методов рассматривается в дальнейшем.

Хотя описанные постановки и метод, решения задач анализа САУ охватывают линейные системы, на базе этих методов в значительной степени базируются исследования других типов систем управления: нелинейных, дискретных, производственно-экономических.

Задача синтеза систем управления заключается в определении ее структуры и параметров по заданной цели управления. Обычно синтез системы управления сводится к синтезу регулятора, так;

2* 35



как структура и параметры объекта управления известны или определяются специалистами соответствующих областей на основе общего назначения проектируемой системы.

Повыщение требований к технико-экономическим показателям систем управления привело к созданию оптимальных систем, под которыми понимаются системы, обеспечивающие наилучшее в некотором смысле управление. Синтез систем управления также проводится на основании их математических моделей.

Производственно-экономические и организационные системы являются сложными системами. Постановка и решение задач управления в таких системах отличается большей сложностью, вытекающей из их математического описания. Объекты и процессы в этих системах, как правило, не могут быть достаточно полно описаны математически. Многие процессы, протекающие в сложных системах, могут быть оценены не количественно, а качественно, для чего используется аппарат булевых переменных.

Булевы переменные представляют собой качественные параметры, оцениваемые по двухбалльной системе. Они удобны для качественной оценки событий типа ДА и НЕТ, при этом наступление события оценивается баллом 1, а ненаступление - баллом 0.

Функциональные зависимости, описывающие элементы сложных систем, содержат как непрерывные, так и булевы переменные, например:

где X и у - непрерывные переменные; р - булев параметр.

Аналитические зависимости х-}(у) задаются отдельно для значений р=0 и р = 1.

Так же, как и в динамических системах, в сложных системах соотношения между количественными параметрами формализуются в виде алгебраических, дифференциальных, разностных уравнений, а соотношения между качественными параметрами устанавливаются в виде логических соотношений, в форме таблиц и т. д. При описании сложных систем широко используются вероятностные функции, системы весов, оценивающие те или иные события, экспертные оценки.

Сложность математического описания производственно-экономических и организационных систем вытекает прежде всего из того, что это человеко-машинные системы, функционирующие часто в условиях трудно предсказуемых ситуаций. Процессы в таких системах весьма сложно описать формализованно.

Кроме того, поведение сложной системы обусловливается огромным количеством переменных, исчисляемых сотнями тысяч. Обычно эти величины имеют разную физическую природу, соотношения между ними отличаются исключительным разнообразием. Переменные, характеризующие сложную систему, находятся в тесном взаимодействии и взаимосвязи, характер которых таков, что изменение отдельной связи или параметров какого-либо элемента, входящего в систему, влечет за собой изменение всех других свя-




Хвыхп

Рис. 1.16. Управление в сложной системе

зей и параметров или большинства из них. Всякий новый элемент, вводимый в сложную систему, изменяет параметры и связи многих или всех элементов системы.

Исходя из сказанного, сформулируем проблему управления в сложной системе в общем виде и укажем на одну из существенных особенностей решения этой проблемы.

Пусть имеет сложную систему S (рис. 1.16), состоящую из двух частей -Ф и Ч^. Часть Ф сложной системы преобразует множество управляющих (входных) воздействий Хвх={л:вхь лгвхг,лГвхт} и множество возмущающих воздействий F=(fb f2,fi} в переменные, характеризующие состояние системы (переменные состояния): =={Уь i/2,i/fe}. Часть преобразует переменные состояния в

выходные величины Хвых = {-*вых1, Л;вых2. .... -*выхп}.

Сложность проблемы управления заключается в том, что каждая переменная множества У - множества координат состояния системы - является функцией всех воздействий на систем.у:

г/г = Фг(вх,), i= l,k,

а каждая переменная множества .Х'вых-множества управляемых (выходных) переменных - является функцией всех переменных состояния:

или

ЛГвыхг = Ч'г (У) , i = 1,П

ЛГвыхг = Si (Хвх, F), i = \,П.

Задача управления сложной системой сводится к тому, чтобы обеспечить такие функциональные преобразования Ф, S, которые были бы оптимальными по выбранным критериям эффективности - некоторым показателям, определяющим степень достижения цели, стоящей перед управляемой системой.

Для упрощения математического описания сложных систем их разбивают на подсистемы по принципу иерархии, устанавливают связи между элементами каждого уровня и между отдельными уровнями.

Характерной особенностью проблемы управления сложными системами является необходимость системного подхода к управлению. Он заключается в том, что система должна рассматриваться как единое целое с позиций цели функционирования, общей для всех подсистем. Практически это приводит к тому, что недопус-



тима независимая оптимизация функционирования отдельных подсистем, образующих систему, т. е. недопустимо усоверщенствова-ние отдельных подсистем сложной системы с позиций частных целей этих подсистем. Например, в системе управления каким-либо производственным объектом недопустимо соверщенствование управления отдельным подразделением без учета целей, стоящих перед объектом в целом. В противном случае, например, цех какого-либо предприятия существенно улучшит свои показатели, а работа предприятия в целом может оказаться неудовлетворительной.

Для иллюстрации сказанного рассмотрим некоторую условную систему, находящуюся под влиянием двух управляющих воздействий - Ух и У2, которые являются аргументами функций ф и /. Пусть функция ф отражает доходы в системе, а f - потери: ф= =р1(УиУ2); f=p2(yi,y2)- в качестве критерия эффективности такой системы целесообразно выбрать следующий:

max (ф - f) = max [F, (уи у2) - F2 (уи г/г) ]

Допустим, что одна подсистема максимизирует доходы, т. е. максимизирует ф по у и а другая минимизирует убытки, т. е. минимизирует f по г/г:

Ф1 = max [F, (уи уг) ]; h = min [Fa (i/ г/г) ].

Vi V2

Очевидно, что max(ф--fi, т. е. . .

max (ф -f) ф max [F, (г/j, г/г)] - min [F2(yi, г/г)].

Таким образом, управление сложной системой должно осуществляться как управление единой целостной структурой, имеющей конечную цель функционирования, общую для всех подсистем, образующих систему.

Структура сложной системы управления определяется в результате системного анализа, представляющего собой совокупность приемов исследования сложных систем, объединяющую как формализованные, так и неформализованные методы. Формализованные методы базируются на прикладных математических дисциплинах, прежде всего на методах математического программирования. Неформализованные методы опираются на экспертные оценки и аппарат теории полезности, позволяющий упорядочивать критерии управления по их весу в оценке степени достижения цели управления. В качестве технической базы системного анализа используются ЭВМ.

При известной структуре сложной системы цель ее функционирования описывается некоторой скалярной функцией - целевой функцией W, достигающей экстремального значения при оптимальном (наилучшем в определенном смысле) управлении. Аргументами целевой функции являются выходные параметры г/ у2,...,уп, которые в реальной системе отражают эффективность ее функционирования. Выходные параметры - аргументы целевой функции -

сами являются функциями некоторых величин Хи Х2,...,Хт, кото-



пые в реальной системе являются управляемыми параметрами. Воздействуя на них, можно обеспечить требуемые значения выходных параметров.

Условия управления в' сложной системе зависят также от неуправляемых параметров ai, 2, cci.

В процессе функционирования сложной системы на управляемые, неуправляемые и выходные параметры накладываются ограничения, отражающие реальные условия работы и существования системы. Ограничениями в реальных системах могут быть, например, ограничения тех или иных ресурсов, сроков производства работ, стоимости, геометрических размеров и т. д.

На основании сказанного математическая модель сложной системы в общем виде может быть представлена так:

Wi=W{yu У2, Уп); (1.14)

yi=yi(xi,X2,...,Xm; 01,02, ...,аг); (1.15)

fj(Xi,X2,...,Xm; Уи У2, Уп, Оь Og, Ог) {Щ}0. (1.16)

функция W, выражающая цель управления, называется целевой функцией. Так как ее аргументы являются функциями многих переменных, то функцию W называют еще функционалом. Зависимость (1.16) выражает ограничения, накладываемые на параметры, обусловленные конкретными условиями функционирования сложной системы.

В изложенной постановке задача управления сложной системой заключается в том, чтобы обеспечить экстремум целевой функции: W-extr. При этом в зависимости от смысла целевой функции задача управления сводится к обеспечению W-vmin или W-max. Очевидно, что в первом случае целевая функция отражает затраты в системе (например, минимум себестоимости выпускаемой продукции), а во втором - прибыль, увеличение выпуска продукции и т. д. Решение поставленной задачи обеспечивается соответствующим подбором значений управляемых параметров. Огромное число управляемых и выходных параметров, сложные зависимости (1.14) - (1.16), включающие существенные нелинейности, дискретность некоторых параметров и другие факторы делают решение задачи управления весьма сложной.

Основными методами решения задач управления в изложенной постановке являются методы математического программирования. Математическое программирование представляет собой раздел прикладной математики, занимающийся вопросами определения экстремумов функций на некотором множестве.

При решении задач управления сложными системами методы Математического программирования используются для определения численных значений переменных, характеризующих производственно-экономические процессы, удовлетворяющих некоторым ограничениям в форме уравнений или неравенств и обеспечивающих экстремум заданной целевой функции, которая отражает эффективность управления. В зависимости от вида целевой функции и ограничений используются различные виды математического про-



граммирования - линейное, динамическое, выпуклое, геометрическое и др. Особенности этих методов и область их применения рассмотрены ниже.

Задачи управления сложными системами существенно усложняются влиянием многообразных случайных факторов, например выходом из строя оборудования, погодными условиями, нарущени-ем поставок сырья или комплектующих изделий и т. п. В таких случаях управление должно осуществляться в условиях неполной информации об объекте управления. Эти задачи рещаются методами стохастического программирования. Широко используются различные эвристические методы.

Глава 2

ЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

2.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗВЕНЬЕВ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Линейными называются системы управления, которые и в статике и в динамике описываются линейными уравнениями. Одна из основных особенностей линейных систем заключается в том, что к ним применим принцип суперпозиции, в соответствии с которым реакция системы на совокупность возмущений определяется суммой реакций на каждое возмущение, прикладываемое к системе в рассматриваемый момент времени.

Реальные системы управления, особенно сложные,- существенно нелинейны. К линейному описанию можно условно свести только небольшой класс динамических систем, но и в этих случаях свойства реальных систем лишь приближенно отображаются их линейными моделями. Однако, несмотря на ограниченность линейных моделей, их роль в теории управления очень велика. Это объ-ясняетсд тем, чтр допущение о линейности систем управления в ряде случаев не приводит к недопустимым погрешностям, с одной стороны, а с другой - существенно упрощает исследование систем. Кроме того, методы исследования реальных нелинейных систем управления в значительной степени базируются на методах исследования линейных систем.

Теория управления линейными системами разработана достаточно глубоко и располагает эффективными и простыми методами анализа и синтеза систем управления, в основном систем автоматического управления и регулирования. Следует подчеркнуть, что линейная теория управления позволяет изучать линейные модели реальных процессов и объектов, а не сами процессы и объекты.

Динамические режимы линейных систем исследуются с помощью их математических моделей. При этом любую динамическую линейную систему можно представить в виде совокупности следу-



ющих типовых структурных звеньев: апериодических, колебательных, интегрирующих, дифференцирующих и усилительных. Каждое из названных звеньев достаточно полно характеризуется формой дифференциального уравнения, видом передаточной и видом переходной функции.

Дифференциальное уравнение звена определяет связь между его выходными и входными величинами в динамических режимах.

Передаточная функция звена W(p) представляет собой отношение преобразованной по Лапласу выходной величины звена к преобразованной по Лапласу входной.величине при нулевых начальных условиях:

W(p) =ХвьМ1хвАр)- (2Л|

Переходная функция h(t) показывает характер переходного гфойгсса в звене, на входе которого приложено единичное входное воздействие:

h{t) =д;вых(0 при xit) = [1].

Указанные характеристики звена составляют важные элементы аппарата исследования динамических линейных систем. Рассмотрим эти характеристики для каждого из перечисленных звеньев.

Апериодическое звено .

Апериодическим называется звено, в котором связь между выходной и входной величинами выражается уравнением

Т- -f л;вых = kxx, (2.2)

где k - коэффициент усиления (передачи) звена; Т - постоянная времени звена, с. Величины k и Т выражаются через физические параметры конкретного звена.

Применяя к уравнению (2.2) преобразование (1.11)-преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим передаточную функцию апериодического звена:

Решая уравнение (2.2) относительно ХвыхСО получим

jcbbix (О = вх (1 - е-/г) (2.4)

или при х^- \ имеем переходную функцию апериодического звена:

Л(0 =(1-е- /г). (2.5)

График переходного процесса в апериодическом звене представлен на рис. 2.1, а кривой /. Как видно из уравнения (2.4) в рис. 2.1, а, переходный процесс в апериодическом звене полностью определяется значениями коэффициента усиления звена k и его постоянной времени Т.




Хвх

Л

г


. ~ Рис. 2.1. Переходные процессы в звеньях:

а -апериодическом; б - колебательном; в - интегрирующем; г - усилительном 0 -идеальном дифференцирующем; е - схема дифференцирующего звена

Если дифференциальное уравнение апериодического звена имеет вид

I .вых = кДвх, (2.6)

то переходный процесс в нем описывается уравнением

W(0=e</r (2.7)

и представляется кривой 2 на рис. 2.1, а. Звено, описываемое уравнением (2.6), называется неустойчивым апериодическим звеном.

Апериодические звенья в линейных динамических системах встречаются очень часто. Приведем некоторые примеры.

Пример 1. Пусть к обмотке ОВГ (рис. 1.6, с) подан скачок напряжения Ыв. Дифференциальное уравнение рассматриваемого звена имеет вид . , й1ъ Ив dts

Ив = tb/?b-fi-- или -= (в-ЬГ-




1 2 3 4 5 6 7 ... 31



Как выбрать диван



История мебели



Стили кухонной мебели



Публикации



Инверторы



Приемники