то выражение (3.46) можно привести к одной из известных форм обратного преобразования Фурье

/г (/) А j [Ка ( )/ю] sin (at da.

(3.47)

Вьиисление h (t) по этой формуле сводится к суммированию значений подыйтегральной функции, следующих через бесконечно малые интервалы частоты do). Для практических расчетов такой метод неприемлем. Чтобы сделать его практически пригодным, заменим одиночный прямоугольный импульс (рис. 3.0) периодической последо-

2Т

Рис. 3.9. К определению переходной характеристики путем перемножения и интегрирования функций

Рис. 3.10. График, поясняющий использование периодической последовательности импульсов в качестве функции

еательностью таких же импульсов с периодом Следования 2Т. (рис. 3.10), спектр которой окажется дискретным, т. е. -

/ (т) = Ш) + (2/я) 2 I [sin {kntlT)]lk] cos {knxiT) т. (3.48)

Подставив значение f {%) в формулу (3.46), получим бесконечную сумму дискретных значений: .

] h (т) / (т) dx = (t/T) + (2/л) 2 [Ка (kn/T) sin (knx/T)yk. (3.49)

Теперь интеграл (3.49) не будет точно равен h(i), однако его легко вьиислить непосредственно. В сответствии с рис. 3.10 его можно .представить в следующем виде:

S (-г) / (т) dxh{t)+Yi (2 + f) - h (2пТ - t)]. (3.50)

При достаточно большом значении периода следования импульсов 27, вследствие всегда имеющего место сравнительно быстрого затухания импульсной характеристики h{x), величину, стоящую пол

знаком суммы в (3.50), можно сделать сколь угодно малой. Действитель-но, рассматривая предел выражения (3.49) при неограниченном возрастании периода 27 , можно убедиться, что

оо оо .

Ит J h (т) / (т) d (т) = Jim j 1 + 2 /С„ (кл/Т) х

X sin {knt/T)/(knt/T)] = (2/я) j [{Ка ( ) sin at)M da,

о

где Ка (kn/T) - дискретные значения вещественной частотной характеристики (0= Уш{кл/Т) и d(B= lim я/Г.

ft->-oo г ->-оо

Следовательно, с увеличением Т (3.50) стремится к точному

значению h{t). Иначе говоря, lim 2 № (2пТ +/) - А (2пГ - )] = О,

Т. е. выражение (3.50) при достаточно большом Т можно рассматривать как приближенное значение переходной характеристики в точке t. Таким образом, для вычисления h {t) можно воспользоваться приближенным равенством

h (t) {t/T) + (2/л) 2 [Ка (kn/T) sin iknt/T)]/k, (3.51)

причем погрешность вычислений составит

Ai = 1: [h {2пТ + t)-h {2пТ - t)]. (3.52)

Большим достоинством выражения (3.51) является то, что переменная величина времени t не влияет на определение необходимых для расчетов дискретных точек вещественной частотной характеристики

Ka(kKlT)=Rek{i()U=kiT. (3.53)

Одни и те же значения Ка используются для вычисления h (t) в различные моменты времени t.

При пользовании формулой (3.51) важным моментом является правильный Еыбор величины периода следования импульсов 2Т. Прн увеличении последнего погрешность Ai будет уменьшаться. Но с ростом 2Т ухудшается сходимость ряда (3.51), так как суммирование производится через меньшие интервалы по частоте. Для всех физически реализуемых систем с сосредоточенными параметрами передаточные функции представляют собой рациональные дроби полиномсв по степеням /о, причем степень числителя не может быть вьипе степени знаменателя. Даже в случае равенства степеней после выделения постоянного слагаемого оставшаяся дробь имеет степень числителя по крайней мере на единицу меньшую степени знаменателя. При этом вещественная частотная характеристика д'о(сй) выражается рациональной дробью полиномов четных степеней ы, и степень числителя

меньше степени знаменателя по крайней мере на две единицы. Благодаря указанному обстоятельству, ряд (3.51) при больших значениях k сходится не медленнее, чем 1/1, а во многих случаях и значительно быстрее. Особенно быстро он сходится в системах, у которых переда-

п

точную функцию можно представить в виде /С(/со)= ~1 КД/ю), и отдельные сомножители удовлетворяют условиям Иш к{ (/ ) == 0.

Примером таких систем могут служить многокаскадные усилители. Хорошая сходимость ряда позволяет при вычислениях ограничиться использованием небольшого количества членов. Обычно необходимое количество членов в зависимости от желаемой точности и сложности вещественной частотной характеристики колеблется в пределах от трех до десяти. При выполнении вычислений всегда хорошо видно, какое количество членов ряда следует использовать в данном конкретном случае. Вычисляя последовательно входящие в формулу (3.51) слагаемые, видно, когда они становятся настолько малыми, что не могут сколько-нибудь существенно повлиять на результат. Кроме того, достаточно просто можно строго оценить погрешности, обусловленные отбрасыванием высших членов ряда (3.51).

Положительным свойством формулы (3.51) является также и то, что для ее использования не нужно рассчитывать и строить всю вещественную частотную характеристику, а достаточно вьиислить лишь несколько дискретных значений для кратных частот

(0 = kn/T. (3.54)

Остановимся подробнее на правильном выборе периода следования импульсов 2 Т. Он должен быть выбран таким, чтобы к моменту начала следующего импульса 27 - t переходный процесс успевал практически закончиться. Для этой же цели переменную длительность импульсов 2t следует варьировать в таких пределах, чтобы интервал между соседними импульсами оставался достаточно большим. Практически целесообразно ввести ограничение

i < Т/2, (3.55)

в результате чего начало второго импульса будет отстоять от начала координат не менее чем на 1,5 Г, а временной интервал, в котором будет рассчитываться переходная характеристика, составит не более 0,5 Т. При этом, если в интервал О < t < Т/2 уложится вся основная часть переходного процесса, то ясно, что к моменту = 1.5 Т он практически закончится. Таким образом, в процессе вычислений легко контролируется правильность выбора величины периода следования 2 Т.

Остается решить вопрос, как правильно выбрать величину периода, потому что этот выбор должен предшествовать вычислениям. Если брать значение 2 Т наугад, а затем проверять правильность выбора расчетом, то это приведет к большим непроизводительным затратам труда. На помощь может прийти описанное ранее вычисление времени установления с помощью соотношений (3.17) и (3.20), так как оно

сразу дает представление о длительности переходного процесса. Что-бы расчетный интервал времени охватил практически весь переходный процесс, достаточно принять 4их == TI2 >(2... 3) ty. Тогда для половины периода следования импульсов окончательно можем записать

Г > (4 ... 6) у. (3.56)

Этим соотношением и определяется целесообразная величина полупериода Т. Увеличивать ее против значения определяемого выражения (3.56) не следует, так как такое увеличение ухудшит сходимость ряда (3.51).

Правильность выбора Т при желании можно более строго проверить по неизменяемости результатов вычислений какой-либо точки переходной характеристики при различных Т. Очень удобно, например, вычислить сначала h {t) при выбранном Т я t = Т/2, а затем при удвоенной величине полупериода Т' = 2Т. Если расхождение результатов окажется меньше допустимой погрешности, то выбор Т был правильным. Можно также вычислить (/g) в момент начала второго импульса, для чего следует взять Т'- 3 Т и t - T/2. При значении /г (у, достаточно близком к единице (предполагается, что переходная характеристика нормирована относительно установившегося значения), выбор Т был произведен правильно. Правда, такая проверка не дает 100 %-ной гарантии, так как случайно можно попасть на ординату h{t), близкую к единице и тогда, когда переходный процесс еще не закончился.

Хотя формула (3.51) позволяет непосредственно рассчитьюать по точкам переходную характеристику, пользоваться ею неудобно. Для максимального сокращения вычислительной работы целесообразно перейти к безразмерному времени, нормированному в масштабе полупериода следования импульсов Т,

д t/T (3.57)

и протабулировать значения функции

W = 2 iinknff/kn (3.58)

для различных величин и &. Тогда формулу для приближенного расчета переходных характеристик по точкам окончательно можно представить в следующем виде:

Л (д) = # + s К, {кл/Т) (#). (3.5 9)

Интервал безразм^зного времени # в соответствии с уравнением (3.55) будет заключаться в пределах О < и < 0,5, что соответствует реальному временному интервалу вычислений 00,5Г. Поэтому для увеличения временной области расчета h{t) необходимо выбирать большей длительность полупериода Т.

При использовании формулы (3.59) и функций Wi{&) вычисления переходной характеристики сильно упрощаются. Весь процесс расчета складывается из следующих операций:

1. с помощью соотношений (3.17) и (3.20) вычисляется время усга-новления и выбирается величина полуперирда Т (3.56).

2. Вычисляется необходимое количество дискретных значений - вещественной частотной характеристики (3.53).

3. Каждое из значений KJkn/T) умножается на соответствующую величину 5fe() для данного значения при котором рассчитывается ордината точки переходной характеристики.

4. Полученные произведения суммируются, включая и слагаемое д.

5. Аналогично рассчитываются и другие точки.

* Описанная методика гораздо прощедругих приближенных методов расчета переходных характеристик и превосходит их по точности.

Характерной особенностью рассмотренного метода вычисления переходной характеристики является то, что значения ординат каждой ее точки определяются независимо от остальных. При этом не происходит накопления ошибок вычислений, присущего другим методам.

Второй особенностью является возможность выполнять расчеты с любой наперед заданной точностью. Получающиеся погрешности складьшаются из трех составляющих. Первая составляющая определяется тем, что при вычислениях приходится обрывать бесконечный ряд (3.59). Но, как указьшалосьвьш1е,для систем с сосредоточенными

параметрами этот ряд всегда сходится не хуже, чем l/k, и при выполнении вычислений всегда хорошо видно, когда его можно оборвать. Вторая составляющая определяется точностью представления функции Wf, (3.58). В приложении приведены ее значения с точностью до четырех значащих цифр. Но при желании эту точность можно сделать более высокой. В частности, при вьиисленнях на микрокалькуляторе точность представления W((&) повышается до восьми значащих, цифр. Третья составляющая определяется выбором величины периода следования импульсов 2 Т. С увеличением этого периода погрешность неограниченно убывает, хотя это сопровождается увеличением объема вычислений. Можно составить выражение, позволяющее производить сценку погрешностей. Однако в этом нет особой необходимости, так как можно воспользоваться более простым приемом. Выполнив расчет нескольких точек переходной характеристики для выбранной величины полупериода Т, производят повторный расчет этих же точек для удвоенной величины полупериода, подставляя в (3.57) - (3.59) вместо первоначальной величины Т значение 2 Т. Разница результатов, полученных для одинаковых моментов времени (или соответственно для нормированных значений & и /2) практически будет служить критерием погрешностей, получающихся при первоначально выбран-ном'Т.

Рассмотренный метод особенно удобен при выполнении расчетов с помощ,ью ЭВМ, так как программа вычислений получается простой.

Прчмер расчета переходной характеристики

В качестве иллюстрации метода приведем пример расчета переходной характеристики усилителя с простой высокочастотной коррекцией, передаточная функция которого

при значении коэффициента коррекции к^- 0,5 вещественная часть частотной характеристики

Ка W = 1/[1 + (1 - 2k) + klx] = 1 (1 + 0,25х*).

В приведенном ранее примере для рассматриваемого случая было найдено нормированное значение времени установления tyh= 1,47. Чтобы охватить расчетом основную часть переходной характеристики, выберем временной интервал из условия

0<:/<0,5Г = 5Тз>3<у,

откуда Г = 10т и Xt

Рассчитав значения Ka{Xk) Для выбранной величины полупериода Т, находим слагаемые ряда (3.59) и сводим в табл. 6. Ордината соответствующей точки переходной характеристики получается суммированием всех цифр в колонке, включая и величину ©. При составлении табл. 6 видно, что использование слагаемых для > 8 при малых © и для fe > 7 при больших © не может существенно влиять на результат вычислений вследствие быстрого убывания последующих членов ряда.

Быстрое уменьшение последующих слагаемых позволяет ограничиться использованием количества членов, приведенных в таблице. При этом по величине последних слагаемых в колонках можно вполне определенно судить о примерной точности вычислений. Чтобы иметь уверенность в правомерности ограничения расчетов указанным числом слагаемых, необходимо проследить быстроту дальнейшего убывания вещественной частотной характеристики при возрастании к. При = 9 получаем Ка= 0,0588 и при k = 10, -/Са= 0,0394, что свидетельствует о весьма быстром убывании последующих членов выражения (3.59).

О правильности выбора величины полупериода. Т можно судить, рассматривая характер переходного процесса при * 0,5. Из приведенного в табл. 6 расчета хорошо видно, что при © = 0,48, которое соответствует t = tT = = 4,8X3, переходный процесс практически приближается к своему установившемуся значению h (00) = 1. Поэтому к моменту начала следующего импульса tz> 1,5 Т = 1.5Тд его безусловно можно считать закончившимся, т. е. выбор полупериода Т был произведен правильно. Без заметного увеличения погрешности его даже можно было бы уменьшить раза в два. За счет такого умень-

6. Вычисление переходной характеристики усилителя с простой высокочастотной коррекцией

Продолокение табл. 6

шения Т сходимость ряда (3.59) значительно улучшится, и вместо использованных нами восьми членов можно было ограничиться не более чем пятью. Однако при этом вдвое сократится и интервал времени, в котором можно рассчитать переходную характеристику.

В рассматриваемом примере при сокращении Т вдвое удалось бы произвести расчет лишь до той точки, которая в табл. 6 соответствует абсциссе * = 0,24. Поэтому, взятая величина Т = Ют, хотя и несколько ухудшила сходимость ряда, зато позволила охватить расчетом практически весь переходный процесс.

Для более наглядной иллюстрации точности вычислений переходной характеристики с помощью описываемой методики в табл. 6 приведены также и точные ее значения. В рассматриваемом случае точное выражение переходной характеристики определяется соотношением

ft(©)=l-e-°cosl0*,

с помощью которого и вычислялись точные значения h (&). Сопоставление точных.и приближенных данных показывает, что расхождение между ними имеет место лишь в третьей значащей цифре для всего расчетного интервала времени. При этом следует еще иметь в виду, что и при использовании для расчета точной формулы третья значащая цифра уже также являлась неуверенной. Такая точность Б большинстве случаев является безусловно достаточной и при данном объеме вычислительной работы намного превышает точность, получаемую известными методами. Если же потребуется более высокая точность, необходимо лишь незначительно увеличить число членов ряда (3.59), используемых для вычислений. ,

Глава 4

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ В УСИЛИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВАХ 1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ПРИМЕНЕНИЯ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

Характерной особенностью усилительных устройств является преимущественно однонаправленная передача сигналов от входных зажимов к выходным. Однако вследствие того, что в схемах усилителей есть некоторые паразитные элементы, а также специально создаваемые

цепи, возможна передача части напряжения или тока с выхода обратно на вход, называемая обратной связью (ОС). Под действием ОС могут в значительной мере улучшаться или ухудшаться важнейшие качественные показатели и характеристики усилителя, повышаться или понижаться стабильность его работы и, наконец, может нарушаться устойчивость работы (возникать самовозбуждение паразитных колебаний). Можно вьщелить две основные, требующие решения, проблемы: преднамеренное создание ОС, оказывающей определенное воздействие на показатели и характеристики усилителя, и борьба с неконтролируемой паразитной ОС, которая может вызьшать обратные эффекты или приводить к самовозбуждению.

Преднамеренно создаваемая ОС может использоваться для улучшения качественных показателей усилителей (уменьшения всех видов искажений сигналов и повышения стабильности работы), а также для формирования необходимых передаточных и переходных функций устройств обработки сигналов. В частности, с ее помощью можно добиваться получения желаемой формы частотных и фазовых характеристик, создавать активные фильтры и т. п. Ниже рассматривается только обратная связь, предназначенная для улучшения качественных показателей усилителей.

Усилитель с ОС представляет собой электрическую цепь, содержащую определенную совокупность активных и пассивных элементов, включенных между его входом и выходом. Поэтому строгий и полный анализ свойств усилителей с ОС должен выполняться методами теории цепей. В частности, при приближенном рассмотрении усилителя как линейной системы его свойства могут быть описаны системой линейных уравнений и исследованы любым методом теории линейных электрических цепей. Недостатком такого подхода является то, что для каждой схемы усилителя с ОС необходимо составлять й решать соответствующую систему уравнений. Кроме того, в полученных в результате решения окончательных выражениях обьино в явном виде не просматривается то направленное воздействие, которое оказала ОС на свойства усилителя.

Классическая теория обратной связи [1] устанавливает наиболее общие закономерности для усилителей с ОС. В частности, в случае применения одно-канальной ос, т. е. когда в усилителе имеется одна замкнутая петля передачи сигналов, влияние ОС на качественные показатели усилителей однозначно определяется возвратной разностью. Последняя связана с коэффициентом передачи сигнала по замкнутому контуру, образованному усилителем и цепью' ОС. Возвратную разность можно вычислить как отйошение определителей системы уравнений F = Д/А°, где А - определитель системы; Д°- определитель, получающийся при равенстве нулю параметра прямой передачи*.

Применение классической теории, несмотря на ее общность и строгость, сопряжено со значительными (часто практически непреодолимыми) трудностя- ми вычислительного характера.. Для каждой конкретной схемы усилителя с ОС приходится составлять и раскрывать определители, которые в большинстве случаев имеют высокий порядок.

Элементарная теория обратной связи разрабатывалась применительно к ламповым усилителям. В тех случаях, когда в усилителе, охваченном ОС (рис. 4.1),

* Равенство нулю этого параметра равносильно разрыву замкнутой петли пе-

редачи сигналу с сохранением нагружающих.иммитансов в месте разрыва.

OlxJex

можно выделить усилительную /С-цепь и цепь ОС, или -цепь, степень воздействия ОС на показатели усилителя определяются глубиной обратной связи

f=l-p/<, (4.1)

где р = с/вых ~ коэффициент передачи напряжения цепью ОС; К - коэффи циент усиления усилителя при отсутствии ОС.

Например, коэффициент усиления усилителя с ОС

Ь.с=</(1-Р^)- (4-2)

Глубина ОС F позволяет наглядно оценивать влияние ОС иа те или иные свойства усилителя. Однако элементарная теория является ие строгой. Ею можно пользоваться лишь при дополнительных ограничениях. В частности, соотношения (4.1) и (4.2) для некоторых схем усилителей с ОС справедливы лишь в предположении, что усилитель практически не потребляет на своем входе энергию источника сигналов и что ток, ответвляющийся в цепь ОС, пренебрежимо мал по сравнению с выходным током в нагрузке. Если эти ограничения с известными оговорками могли быть приняты для ламповых усилителей, то для усилителей на транзисторах и на интегральных микросхемах они, как правило, не выполняются. Кроме того, даже в ламповых усилителях часто трудно, а иногда невозможно разграничить, какие элементы относятся к -цепи, а какие к р'-цепи. При использовании же транзисторов и микросхем многие

элементы будут входить одновременно в состав обеих цепей. Наконец, из элементарной теории не всегда видно, на какие именно свойства влияет та или иная схема подачи ОС.

Целесообразно установить четкие правила применения элементарной теории обратной связи к усилителям, содержащим транзисторы и интегральные микросхемы. Для наглядности и удобства применения этой теории необходимо . также установить ряд ограничений, которые учитывали бы запросы практики и облегчали решение поставленных задач. К подобным ограничениям следует отнести ограничение числа схемных реализаций. Хотя синтезировать цепь с заданной передаточной функцией можно бесчисленным количеством способов, практический интерес представляют только простейшие реализации, содержа-, щие близкое к минимальному количество элементов. Это требование обусловлено соображениями уменьшения габаритов, массы и стоимости устройства, а также повышения его надежности. Вообще любое усложнение схемы и введение в нее дополнительных элементов целесообразно лишь тогда, когда оно дает какой-либо существенный полезный эффект. Это ограничение позволяет перейти от необходимости решать задачу в общем виде, как это делается в классической теории, к рассмотрению ограниченного количества схем.

. Другими соображениями, ограничивающими круг рассматриваемых схем усилителей с ОС, являются: возможность работы многокаскадных усилителей от общих источников питания, рационального подключения источника сигналов и нагрузки, минимизирующего паразитные наводки и помехи. Окончательные выражения целесообразно свести к такому виду, чтобы входящие в них величины и параметры легко поддавались определению, а также чтобы результат действия ОС на соответствующие показатели был представлен в явном и на-глядном виде, например

Рис. 4.1. Структурная схема усилителя с ОС

о. с>

(4.3)

где с ч - значения определяемого параметра или показателя при воздействии ОС и. без нее; - функция, описывающая, воздействие ОС.

2. способы подачи обратной связи

Рис. 4.2. Обобщеииая структурная схема усилителя с ОС, объединяющая основные варианты способов подачи ОС

Минимальное количество используемых на практике вариантов схем должно обеспечивать возможность целенаправленного воздействия на такие важнейшие показатели усилителя, как коэффициент усиления по напряжению и току, входные и выходные иммитансы, коэффициенты передачи сигнала от источника на вход усилителя и с выхода усилителя в нагрузку. Составляя структурную схему усилителя с ОС, необходимо учитьюать, что в большинстве случаев одиночные каскады или несколько каскадов усилителя можно представить эквивалентны--ми четырехполюсниками с общей (для входа и. выхода) стороной. Цепь

ОС, составленная обычно из

4--~ - ]---[ La пассивных элементов, сов-

J 1 ] °~] местно с источником сигналов

и нагрузкой соединяется с входными и выходными зажимами усилительного четырехполюсника. Структурная схема, охватывающая всеюзмож-ные варианты соединения перечисленных элементов, показана на рис. 4.2. На этой схеме источник сигналов представлен эквивалентным генератором тока 4 с внутренней проводимостью Y, усилитель - эквивалентным четырехполюсником с общей стороной и матрицей проводимостей [Y], а цепь ОС - многополюсником с матрицей проводимостей [ 1. Напряжение 0% и ток /i являются входными для усилителя, охваченного ОС, Us и /3 -соответственно входные напряжение и ток собственно усилителя. Аналогично выходные переменные t/g и/а относятся к охваченному ОС усилителю, а t/4 и /4- к собственно усилителю. Источник сигналов, вход усилителя и многополюсник ОС соединены между собой так, что этим соединением охватываются все юзможные варианты последовательного, параллельного и комбинированного включения. Аналогично соединены элементы и на выходе. Таким образом, схема (рис. 4.2) охватьюает все возможные случаи соединения внешней однопетлевой цепи ОС с усилителем. Работа схемы описывается системой четырех линейных уравнений:

иАУо + У ) + U,Y ~ и, (Y + Y,s) - и, {Y + Г J = /е;

+ О2 (У22 + У>д - Os + Yz) - и, {У,2 + У2) = 0;

О г (Ууг + Угг) + U\ {У -f - Us (F -f У г, + Y -f + + Угг) - и, {У + Y -f Ys2 + F34 -f Fj,) = 0; ihi + U {Y - r ) - Us (F41 + У^г + У2х) ~ 0ЛУ,2 +