Таблица 4.4. Логаческие функции двух переменных

Рассмотрим логические функции двух переменных (табл. 4.4). Произвольный набор значений переменных x, можно рассматривать как двоичное число й^йз, младший разряд которого равен Й2. Например, набору значений переменных Xi = 1,a;2 = 0 соответствует двоичное число 10. Наборы значений переменных удобно нумеровать десятичными числами г, двоичные эквиваленты которых обозначаются А^. Таким образом, наборы значений 00, 01, 10, И переменных .Vi, х^ обозначаются

-1 2-> 3 соответственно. Значения каждой отдельно взятой функции двух переменных можно рассматривать как четырехразрядное двоичное число. Тогда значения всех логических функций двух переменных (см. столбцы табл. 4.4) представляют собой двоичные числа 0000, 0001, 0010, 1111. Десятичными эквивалентами этих чисел и пронумерованы все функции в табл. 4.4.

Функции Fq и - вырожденные логические функции, представляющие собой константы О и 1 соответственно. Функции F3,

10, ii2 зависят только от одной переменной и определяются следующими выражениями:

Р\2~\г{р^\-> Л:2) = -И -10=1о(-1 -2)~-2-

функции ii и F,- называются конъюнкцией и дизъюнкцией соответственно.

Широко используются и имеют специальные названия логические функции Ff Fg, F9, F14:

Fg-.Yi®x2 - сложение по модулю два (исключительное ИЛИ, неравнозначность);

F9 = 1 ®-2 - равнозначность;

8 = 1

\j Х2~ ИЛИ-НЕ (Fg=Al J,л'2-стрелка Пирса);

штрих Шеффера).

Fi4 = .Vi-JC2-И-НЕ (Fi4 = JCi/jC2-

Примечание: обозначения и названия логических функций Fg F14, данные в скобках, используются очень ограниченно. Введем некоторые определения.

Таблица 4.5. Минтермы и макстермы

Минтермом называют логическую функцию, которая принимает единичное значение только на одном из всех возможных наборов аргументов. Макстермом называют логическую функцию, которая принимает нулевое значение только на одном из всех возможных наборов аргументов. Минтермы Cj и макс гермы Cf, зависягцие от двух аргументов, представлены в табл. 4.5.

Количество минтермов и макстермов заданного числа аргументов п, как следует из определения, совпадает с числом различных наборов аргументов 2 .

Алгебраически минтерм представляется в виде конъюнкции прямых и инверсных значений аргументов, причем в прямой форме входят аргументы, имеющие в рассматриваемом наборе единичное значение. Макстерм представляется в виде дизъюнкции прямых и инверсных значений аргументов, причем в прямой форме входят аргументы, имеющие в рассматриваемом наборе нулевое значение. Например:

минтермы

Cq-X I X 2, Ci -X iX2, C2=Xi-X 2, C2=Xi-X2,

макстермы C8 = (xi V JC2),

C? = (xi v2), C = (i VX2),

C = (XiVX2).

Известно, что любую логическую функцию можно представить в соверщенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ);

W=2 -l

F{x ...,x ) V aid

i = 0

(4.6)

где - единичное значение функции в наборе с номером i; Cf - минтерм, соответствующий набору с номером /.

Аналогично любую логическую функцию можно представить в соверщенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ):

F{x ...,x ) = ~A \afvCf),

i = 0

(4.7)

где ар - нулевое значение функции в наборе с номером г; С° - макстерм, соответствующий набору с номером i.

Рассмотрим СДНФ и СКНФ некоторых логических функций двух переменных (см. табл. 4.4):

F=xX2, Р^=5с 1X2 \/ х^х 2, Fj=x iX2\/ х^х 2 v Х1Х2;

F = Xy-X2, Fi4 = -12 VlX2 VX1X2;

Fi=(Xi VX2)-(Xi VX2)-(ii VX2); F6=(Xi VX2)-(Xi VX2);

F = Xy\/X2, F8=(l VX2)-(Xi VX2)-(X V X2); Fi4 = XiVX2.

Анализируя выражения СДНФ и СКНФ, заметим, что для реализации любой сколь угодно сложной логической функции F(X, Х\ достаточно использовать систему, состоящую из трех функций: И, ИЛИ, НЕ. Системы функций, обладающие таким свойством, называют функционально полными, или базисами. Можно показать, что каждая из функций И-НЕ, ИЛИ-НЕ, а также И-ИЛИ-НЕ является базисом.

Таким образом, любую сколь угодно сложную логическую функцию можно реализовать, например, только на одних элементах И-НЕ.

Методика составления структурных формул. Для вьшолнения логического синтеза управляющих логических устройств промышленной автоматики необходимо располагать исчерпывающей информацией о технологическом процессе для записи условий работы системы управления технологическим оборудованием. Предварительно изучается технологический процесс и совместно с технологами рассматриваются каждая операция процесса и применяемое оборудование, уточняются последовательность операций и необходимые временные задержки для всех режимов работы объектов управления, определяются параметры и показатели, подлежащие контролю и учету в ходе процесса, исследуются информационные связи с местными и центральными постами управления.

При определении технологических условий работы проектируемой системы управления необходимо руководствоваться действующими правилами и нормами, а также ведомственными указаниями по проектированию технологического оборудования и систем автоматического управления. Кроме того, необходимо изучить инструкцию по техническому обслуживанию аналогичного действующего технологического оборудования. Это позволит выявить специфические условия, предъявляемые к системе управления этим оборудованием.

Первый этап. Производится разделение всех действующих в системе управления сигналов на входные, выходные и промежу-166

точные. Каждому сигналу присваивается буквенное обозначение. Выявляются и обозначаются все входные сигналы, к которым относятся сигналы, поступающие от кнопок управления, концевых и промежуточных выключателей, датчиков и т. п. Производится сокращение числа входных сигналов путем объединения, например конъюнкция объединяемых сигналов заменяется одним эквивалентным сигналом. Выявляются и группируются все выходные сигналы, управляющие исполнительными устройствами: контакторами, электромагнитными реле, транзисторными и тиристорными ключами и т. д.

Второй этап. На этом этапе составления структурных формул производится запись алгебраических выражений, соответствующих выходным и промежуточным переменным структурной схемы. Указанные алгебраические выражения представляются, как правило, в соверщенной дизъюнктивной (4.6) или конъюнктивной (4.7) нормальной форме.

Пример, Составить структурные формулы, определяющие алгоритмы функционирования логического устройства, управляющего процессом загрузки - выгрузки лодочки с подложками в реактор.

Процесс загрузки-выгрузки представляет собой набор последовательных операций перемещения следующих механизмов; затвора, заслонки, механизма перемещения платформы, механизма перемещения лодочки (штанги МПЛ), механизма подъема (щтока МП).

Входные дискретные сигналы логического устройства

Сигнал останова - Ост

Режим останова загрузки- выгрузки 1 -

Останова нет О -

Выходные дискретные сигналы логического устройства: Ki открывает затвор; Кг закрывает затвор; А^з открывает заслонку;

закрывает заслонку;

перемещает платформу от реактора; К(, перемещает платформу к реактору; К-, перемещает штангу МПЛ от реактора; А'д перемещает штангу МПЛ к реактору; Kg перемещает шток МП вверх; KiQ перемещает шток МП вниз.

Словесное описание алгоритма управления состояниями процесса выгрузки - загрузки:

1. Исходное состояние. Затвор и заслонка закрыты, платформа и штанга МПЛ находятся в крайнем положении от реактора, шток МП-вверху.

2. Выгрузка (Вг=1).

2.1. Открыть затвор.

2.2. Открыть заслонку.

2.3. Переместить платформу в крайнее положение к реактору.

2.4. Переместить штангу МПЛ в крайнее положение к реактору.

2.5. Переместить шток МП вниз, т. е. осуществить сцепление штанги с лодочкой, в которой находятся подложки.

2.6. Переместить штангу МПЛ в крайнее положение от реактора (при этом лодочка с подложками окажется на платформе).

2.7. Переместить платформу в крайнее положение от реактора.

2.8. Закрыть заслонку. i

2.9. Закрыть затвор.

3. Загрузка (ЗГ=1).

3.1. Открыть затвор.

3.2. Открыть заслонку.

3.3. Переместить платформу в крайнее положение к реактору.

3.4. Переместить штангу МПЛ в крайнее положение к реактору (при этом лодочка с подложками окажется в реакторе).

3.5. Переместить шток МП вверх, т. е. осуществить разъединение штанги с лодочкой.

3.6. Переместить штангу МПЛ в крайнее положение от реактора.

3.7. Переместить платформу в крайнее положение от реактора.

3.8. Закрыть заслонку.

3.9. Закрыть затвор.

Примечание: после вьшолнения операции загрузки устройство загрузки - выгрузки снова окажется в исходном состоянии. Используя словесное описание алгоритма управления и введенные обозначения дискретных сигналов, составим таблицу истинности логического устройства (табл. 4.6).

Таблица 4,6. Таблица истинности ло1 ического устройства

Входные сигналы

Выходные сигналы

На основе полученной таблицы истинности и формулы (4.6) напишем алгебраические выражения для управляющих сигналов Ki...Kio:

=ОстВгЗгД,Д;гДзД4Д5ДбД ДеДвДю

V ОСтВгЗгД,Д2ДзД4Д5ДбД7Д8Д9Д10 =

= О^Д1Д2ДзД4Д5ДбД7Д8 (ВгДв V ЗгДю);

А:2=б^Д1Д2ДзД4Д5ДбД7Д8 (ВгДю V ЗгДс,);

/;:з=б^Д1Д,ДзД4Д5ДбД,Д8(ВгД9 v згд^о);

А:4 = О^Д1Д2ДзД,Д5ДбД7Д8(ВгД1о v ЗгДр); к, = OJXMiJyMeAiJ\b (ВгД,0 V ЗгД,); Л:б=ОстД,Д2ДзД4Д5ДбД7Д8(ВгД<, v ЗгД.о); /5:, = О^Д1Д2ДзД4Д5ДбД7Д8(ВгД1о V ЗгД,);

л:8=о^д,Д2ДзД4Д5ДбД7Д8(ВгД9 V ЗгДю);

/с9=о;;д,д2ДзД4Д5ДбД^Д83гД1о.

/*:1о=о^Д1Д2ДзД4Д5ДбД7Д8ВгД,.

Обозначим

А-, =Д,Д2ДзДЛ5ДбД7Д8 0ст;

2 = Д1Д2ДзД4Д5ДбД7Д80;

= Д1 ДгДзД^ДзДбДтДвОст: = Д1Д2Д3 Д4Д 5 ДбДтДв Ост

5 = Д1Д2 Д3Д4Д зДб Дт Дв Ост;

Хб = ВгД9; Х, = ВгД1о; Х8 = ЗгД1о; Х9=ЗгД1о.-

С учетом данных обозначений алгебраические выражения для управляющих сигналов приобретают следующий вид: Ку - XyXf V ХуХд, К2 = XjX-j V XjAg; /С3 = XjX v X2A9;

7 = X5X7 V X5Xg; /Cg = 4 V 4X9; /9 = 5X9; KyQ = XXf.

При аппаратной реализации полученные алгебраические выражения (структурные формулы) вначале представляются в опреде-; ленном базисе, например И-НЕ, а затем реализуются на интегральных микросхемах определенной серии, например К155. При использовании программируемых логических контроллеров указанные формулы реализуются на основе программируемых логических матриц.

4.4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ

Линеаризация градуировочных характеристик (ГХ) измерительных преобразователей. Большинство первичных измерительных преобразователей имеют нелинейную ГХ. Поэтому для получения значения измеряемого параметра по входному напряжению измерительного преобразователя необходимо выполнить некоторое нелинейное преобразование. Эту операцию называют линеаризацией. Место и способ реализации ее могут быть разными для разных видов МПСУ. В МПСУ централизованного управления она обычно выполняется ЭВМ блока управления, в МПСУ децентрализованного управления линеаризация производится в измерительном преобразователе. Одна и та же ГХ может быть линеаризована различными способами.

Метод обратной функции. Зависимость выходного напряжения и измерительного преобразователя от измеряемого параметра Х технологического процесса задается градуировочной характеристикой м=/Ш. Тогда измеряемый параметр находится с помощью обратной функции [и).

Этот метод линеаризации достаточно очевиден и при известной функции /(Х.) не дает погрешности. Однако при всех указанных преимуществах он мало применяется на практике по следующим причинам: ,

1. Из-за сложных физических процессов, протекающих в первичных измерительных преобразователях, и множества входящих факторов теория измерительных преобразователей не дает выражений градуировочных характеристик, совпадающих с экспериментальными с приемлемой точностью. 170

2. В тех случаях, когда имеется приемлемое выражение для ГХ первичных измерительных преобразователей, обратная функция преобразования описывается сложными математическими выражениями, требующими при реализации больших аппаратных либо программных затрат.

Метод аппроксимации. Под аппроксимацией понимают нахождение неизвестных значений какой-либо величины по значениям других величин, связанных с рассматриваемой. Достоинство аппроксимации заключается в следующем:

сложные функции могут быть с заданной точностью определены через простые;

возможна аппроксимация ГХ, представленных таблицей.

При проведении аппроксимации важнейшее значение имеет критерий оценки погрешностей аппроксимации. В системах управления получили распространение два критерия:

1) максимальная абсолютная ошибка аппроксимации пе превышает заданную (аппроксимация по максимальной ошибке);

2) среднеквадратическая ошибка аппроксимации пе превышает заданную (аппроксимация по средпеквадратической ошибке).

Полиноминальная аппроксимация является одним из наиболее общих видов аппроксимации. В этом случае ГХ в рабочем диапазоне [О, \] представляется в виде

ф()= Х alk\ (4.8)

i = 0

где п-порядок аппроксимирующего полинома; а^-постоянные коэффициенты.

При нахождении ф(А,) для конкретной ГХ /(А,) необходимую точность аппроксимации получают подбором коэффициентов и порядка полипома по выбранному критерию оценки погрешностей. В случае критерия минимума средпеквадратической ошибки могут быть получены общие выражения для коэффициентов с,-. Действительно, минимум функционала

I=h.m- t ifdT (4-9)

о 1 = 0

обеспечивается при равенстве пулю производных от функционала по коэффициентам а,. Для коэффициента Oq

о о 1 = 0

L L L L

отсюда aQldk+ai\KdK+...+a \k dk=y{%)dk,

0 0 0 0

где L = A,b-диапазон выходных сигналов ГХ;

Обозначив a-cijL, получим

ао+i ai +1 + ... a = [Щ dX.

Проделав аналогичные преобразования для остальных коэффициентов С;, получим систему уравнений относительно коэффициентов а;:

11 11

ao+-ai+-a2 + ...+-a = jlf{X)dX,

lao-t-ai+1а2-t-... 4-;а„ = -1р/(?)

(4.10)

Решение системы уравнений (4.10) дает набор коэффициентов, минимизирующих функционал (4.9). При этом среднеквадратическая погрешность обычно рассчитывается после вычисления коэффициентов и подстановки их в выражение (4.9). Если значение среднеквадратической ошибки получилось больше заданной, то либо увеличивается степень полинома п, либо уменьшается длина отрезка L. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто требуемое значение среднеквадратической погрешности. Поскольку процесс расчета коэффициентов полинома получился сложным, то правильным выбором начального приближения можно значительно уменьшить объем расчетов. Получим это приближение.

Полином (4.8) можно рассматривать как разложение функции /(Х.) в ряд Тейлора в точке L/2. В этом случае погрешность линеаризации будет эквивалентна остаточному члену разложения в форме Лагранжа:

( +1)!

где/ () - значение (и-1-1)-й производной функции ДХ) в точке , расположенной на интервале [0,L]. Погрешность аппроксимации Дм(иЬ) в такой трактовке будет равна остаточному члену:

д ( .ь)=ед (4.11)

где /max-максимальное значение производной / на интервале

Если степень полипома и фиксирована, а необходимая точность линеаризации достигается выбором длины отрезка линеаризации L, то первое приближение для L необходимо выбирать из условия

.. М > (4-12)

у ./ max J

где Дмзад - заданное значение погрешности аппроксимации.

Если при аппроксимации фиксируется длина отрезка L, а необходимая точность достигается изменением степени полинома, то первое приближение необходимо выбрать из условия (4.11), которое решается численными методами для конкретной функции

Выражения (4.11) и (4.12) записаны для случая, когда погрешность аппроксимации задана в виде отклонения напряжения измерительного преобразователя. Часто задаются погрешностью аппроксимации в виде отклонения AX{?7L) измеряемого параметра X.

Для этого случая с учетом соотношения AX=fAu из (4.11) и (4.12) получим аналогичные оценки:

Al{n.L)

(n+l)!2

.Г

Д?.з,д(и+1)!2

(4.13)

где / - производная функция /(А,); L-длина отрезка линеаризации по оси А,.

При аппроксимации ГХ одним полиномом во всем диапазоне измеряемого параметра при высоких требованиях к точности аппроксимации требуется высокая степень полинома. При практической реализации это требует больших затрат машинного времени. Понизить степень полипома, как видно из соотношения (4.11), можно уменьшением диапазона изменения измеряемой величины. Для этого весь диапазон измеряемой величины разбивается на ряд поддиапазонов, для каждого из которых выбирается своя аппроксимирующая функция. В этом случае для получения значения измеряемого параметра сначала находят поддиапазон (отрезок, в котором он располагается), а затем по аппроксимирующей функции этого поддиапазона - значение измеряемого параметра. Аппроксимацию с разбивкой на поддиапазоны называют кусочной (в данном случае кусочно-полиноминальной). При кусочной аппроксимации в ряде случаев вводится дополнительное требование непрерывности аппроксимирующих функций на концах отрезков. Это обычно требуется в прецизионных системах регулирования, в законе управления которых имеется Д-сос-тавляющая (например, ПИД), так как в данном случае при